三垂线定理及逆定理sanchuixian dingli ji nidingli

定理 在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.

如图，若PA,PO分别是平面a的垂线和斜线，AO是PO在平面a上的射影，a⊂α,a⊥AO，则a⊥PO.
逆定理 在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线的射影垂直.
在图中，若a⊥PO，则a⊥AO.
三垂线定理及其逆定理可以概括为：“在平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和斜线在平面上的射影垂直”.这两个定理说明平面的斜线和它在这个平面内的射影一定同时垂直于平面内的某条直线.由于对于平面a内的直线a来说（如图），有三条直线PA,PO,AO都与a垂直，涉及到“三条垂线”，所以叫做三垂线定理（或逆定理）.
对于上面的两个定理一定要注意分清它们的条件和结论.三垂线定理是先有a垂直于射影AO的条件，然后得出a垂直于斜线PO的结论.它的逆定理是先有a垂直斜线PO的条件，然后得出a垂直于射影AO的结论.
三垂线定理及其逆定理是立体几何中重要定理之一.它们是证明空间两条直线垂直的有力工具.一方面，可以把判定空间两条直线垂直的问题转化为判定平面上两条直线垂直问题；另一方面，又可以把判定平面上两条直线垂直的问题转化为判定空间两条直线垂直的问题.这两个定理的主要应用有：
❶证明两条异面直线垂直；

❷求点到直线的距离.