三阶段最小二乘法Three-stage Lest-squares

是一种常用的联立方程组估计方法，其思想是利用所有可用的信息同时估计联立方程中的所有结构方程，所以也称“完全信息估计方法”。假设如下：(1)每个结构方程都是能够识别的，特别允许是过度识别的。如果模型中有某些结构方程不能识别，该模型要重新加以设定，以便使得除了恒等式以外的全部方程都能识别。(2) 对模型中所有的结构都必须正确设定。不仅要正确设定各方程中的变量，而且要正确设定各方程的数学形式。(3) 每个方程的随机扰动项满足零期望、同方差和序列无关。(4) 不同方程的随机扰动项是同期相关的。三阶段最小二乘法的步骤： 用最小二乘法估计简化式方程。设模型的所有内生变量可以表示为全部前定变量和随机扰动项的函数。联立模型包括G个内生变量和K个前定变量。模型中第i个结构方程为：

y_i＝Y_iβ_i+X_iT_i+μ_i i=1,2，…，G ……… (1)

其中，y_i是第i个结构方程中的内生变量，Y_i是一个不包含y_i在内的其他内生变量组成的行向量，β_i是一个系数列向量，X_i表示该方程中的前定变量组成的行向量，T_i是一个系数列向量。令

则(1)式可写成：

y_i＝Z_iα_i+u_i i=1,2，…，G …(3)

用模型中所有前定变量的观察值矩阵X_n×k的转置矩阵乘以(3)得：

Xy₁＝XZ_iα_i+Xu_i ………(4)记y^*＝{Xy_i)

Z^*表示以X′z_i为对角元素的对角矩阵，

u^*＝{X′u_i},i=1,2，…，G

则由(4)式构成的完整体系可写成：

y^*＝Z^*α+u^* ……… (5)

u^*的协方差矩阵为：

θ=E(u^*u^*)={σ_ij(X′X)} i,j=1,2，…，G

由于(5)式中的随机扰动项可能具有异方差性，对它的求解应采用广义最小二乘法。这就需要首先求出Q矩阵的估计量，即求出各个σ_ij的估计量S_ij，它可以二阶段最小二乘估计量,T_i:

所以 θ={S_jiXX}
如果θ是可逆的，则模型结构参数α的三阶段最小二乘估计量为：

α=(Z^*θ^-1Z^*)^-1(Z^*θ^-1y^*)

三阶段最小二乘估计量在小样本情况下是有偏的，在大样本情况下是一致的。由于它在估计过程中使用的信息比二阶段最小二乘估计要多，它比二阶段最小二乘估计更加有效。