欧拉求和方法

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解析数论中的基本方法。

在估计和式乙a_n时，经常遇到a_n=f(n)的情形，其中f(x)是一个定义在实轴上的实函数，具有一定的光滑性，或者是单调函数。这时，欧拉求和方法常常是一个有力的工具。

欧拉求和方法的基本思想是，利用关于f(x)的积分来估计和式∑a_n，这个方法的基本法则如下：

(1)设当x≥a₀时，f(x)是非负的增函数，则对于任何的实数a，x，x≥a≥a₀，有

(2)设当x≤a₀时，f(x)是非负的减函数，则对任何的a≤a₀，极限

存在，而且，其中A定义为：当a是整数，A=a；当a不是整数，A=〔a〕+1。此外，若f(x)还满足条件f(x)=0(1)，x→∞，则对于任何的x≥a₀+1，有不等式

(3)设f(x)在〔a，b〕上有连续的导数，则有

法则(A)的另一实用形式是，其几何意义是：用曲边梯形的面积来逼近相应的台阶形的面积，用它便可以得到估计：当λ≥0时，；等，利用法则(B)则可得到以下重要的估计：，其中γ为欧拉常数；当σ＞1，x≥1时，等，一般地，公式(C)称为欧拉求和公式，它是欧拉求和方法的核心，利用它可以得到许多重要的公式，例如，斯特林公式，以及黎曼ξ函数的函数方程，其中是黎曼ξ函数。