圆周角定理的几个推论

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在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；

直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

注意 1．圆周角定理是把圆周角和圆心角这两类不同的角联系在一起．

2．同一条弧所对的圆周角相等；同一条弦所对的圆周角相等或互补．

3．半圆所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弧是半圆．

4．已知条件中如果有直径时，常常作直径所对的圆周角，这是圆中常添加的辅助线．

例1 若圆的弦长等于它的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为( )．

A．30°

B．60°

C．150°

D．30°或150°

答 D．

[解析] ∵AB=OA=OB，

∴△AOB为等边三角形．

∴∠O=60°．

∴弦AB所对的圆周角的度数有两个，分别为30°、150°．

例2 如图已知☉O的两条弦AC、BD相交于点P，∠ADB=25°∠BPC=70°，则∠COD的度数为( )

A．170°

B．165°

C．160°

D．150°

答 A．

[解析] ∵∠APD=∠BPC=70°，∠ADB=25°．

∴∠A=85°∴∠COD=2∠A=170°．

例3 已知：☉O是以等腰三角形△ABC的一腰AB为直径的圆，它交另一腰AC于E，交BC于D．

求证：BC=2DE．

证明 连接AD．

∵AB为直径，∴AD⊥BC．

又AB=AC．

∴BD=DC=1/2BC，

∠BAD=∠CAD．

∴BD=DE即BD=DE=DC

∴BC=2DE．