配伍组资料的秩和检验

配伍组（即随机区组）设计的实验数据，如不能满足方差分析的正态性和方差齐的要求，则可用F^riedman秩和检验来推断各处理组（总体） 间的差别。检验假设H₀为各处理组的总体分布相同； 备择假设H₁为各处理组的总体位置不同或不全相同 （即各总体的变量值有倾向性不同）。必要时还可进一步作两两比较或各实验组与对照组比较。
Friedman秩和检验(M. Friedman,1937) 方法步骤如下：
(1)先在每一配伍组内将数据从小到大编秩，如有相同数据，取平均秩次；再按处理组将各秩次分别相加，得各组秩和Ri,i=1,2，…，k。
(2)按式(1)计算统计量x²_r值，

式中k为处理组数；n为配伍组数；i=Ri/n为第i处理组的秩次均数； 为秩次总均数；相当于组间离均差平方和；(k²-1)/12为秩次的方差。
当同一配伍组内出现相等数据（即有相同秩次）时，所得x²_r值略低，可按式(2)计算校正的x²_rC值，

式中t_i为第i个相同秩次组中的相同秩次的个数；其他符号同式(1)。
(3) 求得x²_r(或x²r_C2)值后，查表1得P值，按所取检验水准作出推断结论。注意： 当x²_r(或x²_rC)值恰等于表中界值时，其确切概率多小于表中的P值。当k或n超出表1范围时，x²_r(或x²_rC)分布近似于自由度v=k-1的x²分布，可直接查x²界值表得P值。

表1 秩和检验用x²_r界值表

n	k=3		k=4
	P: 0.05	0.01	0.05	0.01
2			6.00
3	6.00		7.40	9.00
4 5	6.50 6.40	8.00 8.40	7.80 7.80	9.60 9.96
6 7 8 9 10	7.00 7.14 6.25 6.22 6.20	9.00 8.86 9.00 8.67 9.60	7.60 7.80 7.65	10.20 10.37 10.35
11 12 13 14 15	6.55 6.17 6.00 6.14 6.40	9.46 9.50 9.39 9.00 8.93

摘自 Owen DB: Handbook of Statistical Tables,p408,Addison-Wesley Publishing Company,Inc.,1962
例1 用某新药治疗血吸虫病患者，采用三天疗法，在治疗前及治疗后测定7名患者的血清谷丙转氨酶(SGPT)的变化，以观察该药对肝功能的影响，测定结果见表2。问四个阶段的SGPT有无差别？

表2 某新药治疗血吸虫病患者治疗前后SGPT（单位）的变化

患者号	治疗前	治 疗 后
		1周	2周	4周
1 2 3 4 5 6 7	63(2) 90(1) 54(1) 45(1) 54(2) 72(1) 64(1)	188(4) 238(4) 300(4) 140(3) 175(4) 300(4) 207(4)	138(3) 220(3) 83(2) 213(4) 150(3) 163(3) 185(3)	54(1) 144(2) 92(3) 100(2) 36(1) 90(2) 87(2)
Ri	9	27	21	13

H₀: 治疗前后四个阶段患者的SGPT的总体分布相同，
H₁: 四个总体的位置不同或不全相同。
a=0.05。
对每一患者治疗前后SGPT的观察值从小到大编秩，列于其后的括弧内，计算各阶段的秩和Ri。本例n=7,k=4，按式(1)计算x²_r

查表1得P<0.01，按a=0.05水准拒绝H₀，接受H₁，故可认为治疗前后四个阶段的SGPT有差别。
两两比较 当上述x²_r秩和检验认为各总体的位置不同时，可进一步作两两比较的秩和检验。方法步骤如下：(1)将各处理组的秩和从大到小排列：R₁,R₂，…，R_k。按顺序列出对比组及两对比组范围内包括的组数a，如表3第(1)、(3)栏。
(2) 求统计量q值。计算公式为

式中R_A-R_B为两两比较中的任何两个对比组的秩和之差，SR_A-R_B为差值的标准误，其他同前。
(3)查q界值表(见“多个样本均数间两两比较”，表1，恒取v=∞)得P值，按所取检验水准作出推断结论。
例2 例1资料中哪两阶段间的SGPT有差别？
H₀: 任两阶段SGPT的总体分布相同，
H₁: 任两阶段总体的位置不同或不全相同。
a=0.05。
各阶段的秩和按大小排列：

组次	1 (治后1周)	2 (治后2周)	3 (治后4周)	4 （治疗前）
Ri	27	21	13	9

由此确定各对比组及a，见表3第(1)、(3)栏。求出各对比组秩和之差R_A-R_B，见表3第(2)栏。按式(4)求两组秩和之差的标准误SR_A-R_B。

按式(3)计算q值见表3第(4)栏。

表3 四个阶段SGPT的两两比较

查q界值表，得P值，P<0.05者在q右上角标以“^*”号，P>0.05者未标“^*”号。故按a=0.05水准，可认为治后1周、2周SGPT有升高，但治后4周与1周相比已有下降，与治疗前比已看不出差别了。
各实验组与对照组比较 经上述x²_r秩和检验，认为各总体不同时，还可进一步将若干个实验组分别与一个共同的对照组比较，方法步骤如下：
(1)将各组 （包括实验组与对照组）秩和从大到小排列。按顺序列出对比组及两对比组范围内包括的组数α，如表4第(1)、(3)栏。
(2) 求统计量q′值。计算公式为

式中R_T-R_C为每个实验组与对照组秩和之差；SRr-RC为差值的标准误；其他同前。
(3)查q′界值表 (见条目“各实验组与对照组均数比较”，表1,2，恒取v=∞)得P值，按所取检验水准作出推断结论。
例3 若以例1中治疗前的SGPT作为对照组，治疗后的哪些阶段与它有差别？
H₀: 任一实验组的总体分布与对照组的相同，
H₁: 实验组总体与对照组总体的位置不同或不全相同。
α=0.05。
四组秩和按大小顺序排列：

组次：	T1 (治后1周)	T2 (治后2周)	T3 (治后4周)	C （治疗前）
Ri:	27	21	13	9

由此确定各对比组及α，见表4第 (1)、(3)栏。求各对比组秩和之差 RT-Rc ，结果见表4第(2)栏。按式(6)求sRT-RC得

按式(5)计算q′值，见表4第(4)栏。

表4 表2资料实验组与对照组比较的秩和检验

查q′界值表得P值，P<0.05者在q′ 值右上角标以“^*”号，P>0.05者未标“^*”号，见表4第(4)栏。故按α=0.05水准，T₁组与C组间，T₂组与C组间拒绝H₀，接受H₁;T₃组与C组间不拒绝H₀。可认为治疗后1周、2周的SGPT较治疗前有升高，而治疗后4周与治疗前已看不出差别了。