排队论queueing theory

一门研究服务系统中排队现象随机规律性的学科，是运筹学的一个分支。在现实生活中，常出现有形的排队（如到商店买东西的人们）或无形的排队（如电话用户）。排队的也可以是物，如等待修理的机器。在排队论中，参加排队的无论是人或物，统称为“顾客”；为顾客提供服务的无论是人或物，统称为“服务台”（或服务员）。等待和正在接受服务的顾客与为顾客提供服务的服务台组成的整体，构成排队系统。由系统外的顾客源（潜在顾客的总体）来到服务台处要求服务的顾客是系统的输入，服务完毕离去的顾客是系统的输出。在各种排队系统中，顾客相继到达系统的间隔时间以及为每个顾客服务的时间，一般是随机的。随机性是各种排队系统的共同特征，因此，排队系统又称随机服务系统，其基本研究方法是概率论方法。应用排队论有助于正确设计与有效运用排队系统，使得既能在一定程度上满足顾客的需要，又能使服务机构（由一个或多个服务台构成）所需费用最小。
发展简况 排队论起源于电话工程的研究。1909年丹麦工程师爱尔朗(A. K. Erlang)在热力学统计平衡概念的启发下，发表了开创性论文“概率论与电话交换”，首次提出排队理论的基本思路，解决了电话的合理配置问题。1930年以后法国数学家普拉切克(Pollaczek)和苏联数学家辛钦(А.Я.Хинчин)等人，进行了更一般的研究，取得了早期的一些重要结果。1940年前后，排队论逐步应用于机器维修、交通运输等方面。20世纪50年代初英国肯德尔(D. G.Kendall)系统地阐述了排队论问题，奠定了现代排队论的基础。50年代末以后，排队论用于研究水库、生产线管理、系统可靠性、计算机和通讯网络等方面。中国在20世纪50年代中期，开始排队论的研究，1959年越民义给出了M/M/C系统瞬时队长的分布表达式；1965年方开泰等证明了平稳无后效流的等价条件等。排队论已应用到电讯、纺织、交通、采矿、机械加工、计算机设计等领域。
研究内容 主要有：❶系统性态问题。主要研究队长、等待时间及忙期的概率分布等。
❷排队系统的统计推断。属于随机过程统计，包括有关数据的收集、平稳性检验、独立性检验、参数估计、假设检验等。
❸最优化问题。包括系统的最优设计（静态最优）与已有系统的最优运营控制（动态最优）。静态最优主要是根据系统的稳态性质，寻找系统参数(包括服务台数、等待空间大小、服务率、服务强度等)的最优值；动态最优是寻求控制已有系统的最优策略。
基本方法 任何一个排队系统都由六个主要特征确定： 系统的输入、服务时间分布、服务台数量、系统容量、顾客源数、排队规律。国际上通用的排队模型记号是1971年国际排队论符号标准化会议确定的形式：
输入过程/服务时间分布/并列服务台数/系统容量/顾客源数/排队规则。
上述各种特征分别用约定的符号表示，当系统容量、顾客源数都是无限的，排队规则是先到先服务时，可以省略相应符号。例如，M/M/1表示输入是泊松(Poisson)流，服务时间服从负指数分布，有一个服务台，系统容量和顾客源都是无限的，排队规则是先到先服务。但是，上述符号表示方法不是所有排队模型都能适用的。例如，它不适用于由多个服务台串联或构成网络的复杂系统。排队模型可按分析方法分成两大类： 马尔可夫排队模型和非马尔可夫排队模型。前者指输入是泊松流且服务时间是负指数分布的系统，其中，顾客到达和离开的规律，符合生灭过程时，可用生灭过程理论求解。非马尔可夫模型的求解一般需要更复杂的数学工具，已发展了一些求解方法。例如，嵌入马氏链法、补充变量法和扩散过程近似法等。排队模型很少能求得精确解，一般只能求稳态解。在系统运行充分长时间以后，系统趋于稳态（统计平衡），因此，应特别注意稳态解的应用。对不能用解析法求解的复杂系统，可用计算机模拟求解。在现有计算机模拟语言中，GPSS（见通用模拟系统）对研究排队问题是有效的。
排队论的一些方法和技巧，可应用于存贮论问题（见存贮论）。存贮论也为处理排队问题提供新的方法和技巧。

排队论

又称“随机服务系统理论”。运筹学的一门分支。研究如何合理地设计与控制一类含义广泛的随机服务系统(如电讯传递，交通管制，数据处理等)，使服务达到良好的经济效益，上述系统包括输入过程、排队规划与服务机构三要素。应用于医院就医、运输安排等许多方面。

排队论

亦称“随机服务系统理论”，是研究大量服务过程的数学理论。它由电话事业发展而来，现已广泛地应用于电讯、交通、军事等领域，为人们提供着最优决策的依据。

排队论

也称随机服务系统理论。指研究随机聚散和随机服务系统工作过程的现象和方法。即研究排队问题。是运筹学的一门分支。所谓排队，是指在服务设施前，要求给予服务的对象在等待服务时所形成的等待队伍。这类等待队伍其成员来到的时间与人数多少，均无法预知，因而是一种随机聚散现象。排队论起源于20世纪初，首先由丹麦工程师在研究电话的排队现象过程中发展起来的，50年代后渐趋成熟。任何排队系统都包括三个基本组成部分： (1) 输入过程，指各种类型的顾客是按怎样的方式、怎么分布到达的。(2) 排队规则，指顾客按怎样的规定次序接受服务。(3) 服务机构，指同一时刻内有多少服务设备可接纳顾客，为每一顾客服务了多少时间。排队论的任务，就是找出服务系统工作质量指标与输入特性、服务时间特性和排队规则之间的函数关系。在人类活动中，大量服务过程都需要应用排队论。排队论通过对每个个别的随机服务对象的统计研究，找出反映这些随机现象平均特性的规律，从而改进服务机构的能力，使之达到良好的经济运行效果。排队论已应用于工业、农业、商业、交通运输、旅游、邮电等部门，并已取得效果。

排队论queuing theory

是运筹学的一个重要组成部分。是研究排队现象的性质与服务实施之间的关系，以求在两者之间取得最佳平衡的一种数学优选理论。如病人到医院就诊，医生少，病人就要排队等待。反之，医生就要等待病人。排队论就是用于合理解决类似现象的理论。

排队论

又叫随机服务系统理论或公用事业理论中的数学方法。它是研究各种各样的排队现象的。它所要解决的主要问题是，在排队现象中设法寻求能够达到服务标准的服务机构的最少设备，使得在满足服务对象条件之下，服务机构的花费最为经济。排队论最早起源于爱尔朗A.K.Erlang对电话系统的研究，以后有波拉切克(F.Pollaczek,1930)、巴姆(C.Palm,1947)等人进行了进一步的研究。排队现象作为一种随机现象，所采用的主要工具是研究随机现象规律的概率论。它把所需研究的问题形象地描述成顾客(如电话用户、发生故障的机床等)来到服务台前（如电话线路维修工人等）要求接待，如果“服务台”已被其它顾客占用，那么就得排队等待；另一方面，“服务台”也时而清闲，时而忙碌，排队论就是通过数学方法求顾客等待时间、排队长度等的概率分布，以便作出决策。目前排队论在社会生活的各方面已有广泛而深入的应用，如在水库用水量的调度、存储问题、生产流水线的安排、电力网的设计、铁路分车场的调度等方面都可运用排队论的基本理论来进行计算，从而获得合理的解决办法。

排队论Queuing Theory

对排队系统在不同条件下（其中最主要的条件就是顾客到达的随机性和服务时间的随机规律性）排队现象的随机规律性进行研究，并对实际排队系统的设计与运营做出最优决策支持的方法。它是20世纪初，丹麦数学家爱尔朗在研究电话系统服务过程中发生的排队拥挤现象而提出的。现在这一理论已成为管理运筹学的重要分支，并已广泛应用于工业、军事和服务性行业的管理和规划工作上。
排队系统是指由随机服务对象或随机服务机构组成的服务系统。在这个系统中，服务对象的到达与服务时间是随机的，例如理发馆。在这种情况下，由于随机性的存在，经常会出现服务对象多而服务员少的现象，出现排队拥挤问题。排队系统一般可分为三个部分：(1)输入过程。这一过程独立于其他任何因素，普通情况下服从指数分布或爱尔朗分布。(2)服务机构。这一部分主要包括：服务员数目、服务时间；对到达对象可否成批服务；服务项目间是否分工，等等。(3)排队规则。这是指服务机构对排队等待的顾客按何次序服务，一般有先到先服务、后到先服务、随机抽取服务、优先权服务等多种方法。
排队论所要解决的问题是确定有关服务机构的经济界限。使服务对象不会因服务机构过少，排队时间过长而厌倦离去；又不会因服务机构太多出现大量空置的不经济现象。这就需要通过对服务对象到达时间和服务时间的统计规律研究，求出排队时间少、服务标准高的排队规则和服务员最少、成本最低的服务系统方案。排队法一般采用数学模型分析和计算机模拟两种方法解决实际问题。

排队论

研究系统拥挤现象和排队现象的一种数学方法。它研究和处理系统的随机聚散现象，因此排队论又称随机服务系统理论。它属于运筹学的一个分支。在社会中到处存在着服务系统的顾客随机聚散现象，如零售报刊时而顾客拥挤，时而顾客零散。排队论是通过对每个服务对象活动现象的统计研究，找出规律，改进服务，提高服务系统的运行效率。关于排队的第一篇论文见于1907年，作者约翰森。真正从数学角度研究排队问题的是哥本哈根的电话工程师埃尔朗，他在1909年写了关于电话用户排队现象的论文。60年代，随着计算机的发展，极大地扩展了排队论的应用领域。随机服务系统由输入过程、排队规则、服务机构三部分组成。研究三部分的目的是解决系统输入——输出的平衡关系。输入过程是服务对象寻找服务的分布规律，如顾客到来的相隔时间、排队长度的统计。排队规则是顾客等待服务时间的分布规律，如不等待，按次序等待，顾客是否等待的时间标准等等。服务机构，主要研究其服务点与人员构成的适应性、服务时间间隔的变化等。根据各项统计数据，制定出排队问题的数学模型。如服务系统的M/G/n模型，M表示输入过程为普阿松流，G表示服务时间遵从一般分布，n表示需要由n个服务台组成服务系统。由于排队现象具有随机性，通常用概率论解决。排队论广泛应用于邮电、通讯，以及公路、铁路、航运、维修等领域中的服务性系统。在新闻单位也存在若干排队现象，如读者来信服务、社会监督电话服务、今日读者来电专栏服务、广告服务、点播节目服务等，都存在服务对象的随机聚散现象。运用排队论对服务对象寻找服务的规律和新闻单位如何满足服务要求的管理进行研究，对提高新闻服务是有益的。

排队论

亦称“随机服务系统理论”。研究排队现象的统计规律性并用以指导服务系统的最优设计和最优经营策略的一门学科。它是研究大量随机服务过程的理论，属运筹学的一个分支。社会活动中存在着大量的排队现象，如排队购买车船票，飞机在机场上空盘旋等待跑道空闲时降落、工人看管多台机器逐一地处理机器上发生的事情，这些现象都可以看成为一个排着队等待服务的排队过程。各领域中的排队现象虽然内容不同，但排队过程均有以下共同特征：(1) 有请求服务的人或物，统称为顾客。(2) 服务机构。(3) 顾客的到达或服务时间具有随机性。排队系统有三个组成部分： (1) 输入过程，指顾客的到达。根据顾客到达的特点，顾客源的组成可以是有限或无限的； 顾客到来的方式可为单独或成批到来；顾客相继到来的间隔时间可以是随机的或确定型的；另外输入过程可以是平稳的或非平稳的。(2) 排队规则，指顾客排队的方式和服务规则。排队规则分为即时制 （亦称损失制），等待制，服务规则可分为先到先服务、后到先服务、也可以是随机服务和优先服务。(3) 服务机构。可以是一个或多个服务台，而多个服务台可以是串行或并行，服务时间分为确定性、纯随机型和中间型三种。估计排队系统的服务质量、判别系统运行优劣的数量指标有： 系统空闲的概率P0; 队长，指在系统中的顾客数 （等待服务与正被服务的顾客数），它的期望值记作Ls; 排队长，指在系统中排队等服务的顾客数，它的期望值记作Lq; 逗留时间，指一个顾客在系统中的等待时间与服务时间之和，它的期望值记作Ws; 等待时间，指一个顾客在系统中排队等待时间，它的期望值记作Wq。排队论起源于20世纪初，由电话通信中的问题引起的。1909年，丹麦哥本哈根电话公司的埃尔朗发表了“概率与电话通话理论”，创立了排队论。第二次世界大战以后，已开始应用于其他方面，近十几年来，又扩展到电子计算机的应用领域。

排队论

queuing theory

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queuing theory