复数的乘法fushu de chengfa

按照多项式乘法法则进行，并在结果中将i²写成-1，把实部与虚部分别合并.即
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdⁱ²
　=(ac-bd)+(bc+ad)i
这就是复数的乘法法则.
显见，任意两个复数的积仍是一个复数.其中，两个共轭复数的积是一个实数，它等于其中每一个复数的模的平方.即

容易验证复数乘法满足交换律与结合律，乘法对加法满足分配律.即对于任何复数z1,z2,z3.有

z1·z2=z2·z1,

(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),

z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3.

两个三角形式的复数相乘的法则是：若

则

这个法则可由复数乘法的规定及和角公式推证.

图1

图2

由这个法则易得到复数乘法的几何意义：把复数z₁对应的向量按逆时针方向旋转角θ₂(若θ2<0，则按顺时针方向旋转角|θ₂|)，并把它的模变为原来的r₂倍所得向量就是复数z1=r₁(cosθ₁+isinθ₁)与z₂＝r₂(cosθ₂+isinθ₂)的积z₁z₂所对应的向量(图1).若将复数z₁所对应的向量按逆时针方向旋转角θ所得向量图2)，便是复数z₁与模为1幅角为θ的复数之积所对应的向量.例如，将复数1 +i所对应向量OP₁按逆时针方向旋转120°所得向量所对应的复数便是

图3

用数学归纳法容易证明n个复数相乘时，积的模等于各个复数模的积，积的幅角等于各个幅角之和. 即
若 z_i＝r_i(cosθi+isinθ_i) (i=1,2，…，n)则z₁·z₂·…·zR= r₁·r₂·…·rR[cos(θ₁+θ₂ + …+ θ_n) + isin(θ₁ + θ₂ +…+ θ_n)].