一一映射

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一般地，设A、B是两个集合，f∶A→B是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做从集合A到集合B上的一一映射．

1．对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，即若原象不同，则象必不相同；

2．集合B中的每一个元素都是集合A的某个元素的象，也就是说，集合B中的每一个元素都有原象．

例1 对于映射f∶A→B，下列说法中正确说法的个数是( )．

❶ A中的元素都存在B中的元素和它对应

❷ B中每一个元素都和A中的元素对应．

❸ B中象a的原象是惟一的．

❹ 设A=R，B={y|y>0}，

f∶x→y=|x|．

A．0 B．1

C．2 D．3

答案 B．

例2 (1)设集合A和B都是自然数集合N，映射f∶A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2ⁿ+n，则在映射f下，象20的原象是( )．

A．2 B．3

C．4 D．5

(2)设“f∶A→B”是从A到B的一个映射，其中A=B={(x，y)|x，y∈R}，f∶(x，y)→(x+y，xy)．则A中元素(1，—2)的象是＿＿，B中元素(1，—2)的原象是＿＿．

分析 利用映射的定义求解．

解 (1)根据映射定义得2ⁿ+n=20，即2ⁿ=20—n，则由n是自然数得1≤2ⁿ=20—n≤20．于是0≤n≤4，即n=0，1，2，3，4．

经验证符合题意的是n=4．

故应选C．

(2)根据映射的定义及原象和象的对应关系可知在f的作用下原象(1，—2)的象是(x+y，xy)．

∵x=1，y=—2，

∴x+y=1+(—2)=—1，

xy=1×(—2)=—2．

故原象(1，—2)的象是(—1，—2)；

反之象(1，—2)在f作用下的原象实质上为同时满足x+y=1，xy=—2的(x，y)

故(1，—2)的原象有两个，即(—1，2)、(2，—1)．