归纳公理guina gongli

皮亚诺公理的第四条.其内容是：如果集合M⊆N满足两个条件：
❶1∈M;
❷若x∈M则x的后继者x′∈M.那么M=N.这条公理有两方面重要作用：第一，它保证了满足公理的集合确实是自然数集.设想由不小于1的一切实数组成的集合L，规定x+1是x的后继者，则L显然满足皮亚诺公理的前三条，但只要取M=N，不难说明L不满足归纳公理.可见归纳公理是把自然数集与象L这样的连续的集合区别开来，保证其离散性的重要条件.第二，归纳公理是数学归纳法的理论基础.根据归纳公理，关于自然数n的性质p(n)，若能证明下列两条：
❶p(1)是正确的；
❷对任意自然数k，假定p(k)是正确的，则p(k+1)也是正确的.则可断言对于所有的自然数n,p(n)都是正确的.
作为数学归纳法的推广，有二重数学归纳法：设有关于自然数m,n的性质p(m,n)，若能证明：
❶p(1,n)及P(m,1)关于所有的m,n都是正确的；
❷对于任意自然数k,l，如果p(k+1,l)及p(k,l+1)是正确的，则p(k+1,l+1)也是正确的.则可断言p(m,n)对一切自然数m,n都是正确的.
当然，依据归纳公理或与其等价的最小数原理，还作出许多推广，如第二数学归纳法，倒推归纳法，多重数学归纳法等等.