直角三角形的判别方法

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如果三角形三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形．

注意 1．这一判别方法，绝对不能叙述为：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形为直角三角形，这样好比直角三角形是直角三角形．

2．用这种方法判断一个三角形是不是直角三角形，只需验证最大边的平方是否等于其余两边的平方和即可，若相等，则是直角三角形；若不等，则不是．

例1 三角形三边长为(1)3，4，5；(2)10，12，13；(3)5，12，13；(4)34，16，30．其中能作直角三角形边长的是＿＿．

答 (1)，(3)，(4)．

[解析] 3²+4²=5²，5²+12²=13²，

16²+30²=34²，但10²+12²≠13²．

数据较大时可用较大两边的平方差，看是否等于较小边的平方，比如34，16，30．

可以用平方差公式计算34²－30²=(34+30)×(34－30)=64×4=256=16²．

例2 下列不能组成直角三角形的一组是( )．

A．21，28，25 B．6，8，10

C．8，15，17 D．5，12，13

答 A．

[解析] B、C、D都是简单的勾股数，可以记住．

例3 在△ABC中，a=41，b=40，c=9是直角的角为( )．

A．∠A B．∠B

C．∠C D．没有直角

答A．

[解析] ∵a²－b²=(41+40)×(41－40)=81=c²，

∴△ABC为直角三角形，最大边a所对的角∠A是90°．

例4 等腰三角形腰长为13，底边长为10，则底边上的高为( )．

A．11

B．12

C．13

D．15

答 B．

[解析] 作出底边BC上的高AD，根据等腰三角形三线合一．

BD=DC=5，

在Rt△ADC中，AD²=AC²－DC²=13²－5²=144，

∴AD=12．

例5 如图，将一根16厘米长的筷子，置于底面直径为5厘米、高为12厘米的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h厘米，则h=＿＿．

答 3厘米．

[解析] 筷子在水杯内部部分，与水杯底面直径，水杯的高构成一个直角三角形，根据勾股定理可得内部部分即斜边为13厘米故露在外部的部分为3厘米．

例6 若△ABC的三边满足条件a²+b²+c²+50=10a+8b+6c，则△ABC是( )．

A．等腰三角形 B．锐角三角形

C．直角三角形 D．钝角三角形

答 C．

[解析] a²+b²+c²+50=10a+8b+6c，

a²－10a+b²－8b+c²－6c+50=0．

a²－10a+25+b²－8b+16+c²－6c+9=0．

(a－5)²+(b－4)²+(c－3)²=0．

根据非负数的性质可得

a=5，b=4，c=3．

故三角形为直角三角形．