断定逻辑

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研究断定者和他们所断定的命题之间的逻辑关系的理论。

其中，用x表示断定者，它可以是个人，可以是社会群体，也可以是文件，甚至是一个抽象的命题系统；并且，用Axp表示x断定p，这里断定分为明显的和隐含的，隐含的断定就是明显的断定的所有那些逻辑推论。在断定逻辑中有这样一条原则：

若，则。

它的意思是，若从p可以推出q，那么，如果x断定p，则x断定q，即断定者承诺去断定他所断定命题的逻辑后承。并且，其中还有一个定理：

意思是：任何断定者都不断定一个逻辑矛盾。由此可知，断定逻辑所处理的是隐含的合理的断定。

下述公式常被作为断定逻辑的公理或规则：

(A₁)

(A₂)Axp∧Axq→Ax(p∧q)

(A₃)～Ax(p∧～p)

(A₄)

(A₅)

(A₆)

(A₇)Axp∨Ax(～p)

R若，则

在一阶逻辑的基础上，加入上述某些公式作为公理或规则，就可以得到不同的断定逻辑系统：

A₁=一阶逻辑+(A₁)+(A₂)+(A₃)+R

A₂=A₁+(A₄)

A₃=A₁+(A₅)

A₄=A₃+(A₆)

A₅=A₁+(A₄)+(A₅)

在断定逻辑系统A₁中，(A₁)是非空假设，它说：每个断定者都断定某命题；(A₂)表达断定的合取性；(A₃)表达断定的一致性(合理性)。

从(A₁)和R可以得到导出规则：

R^※ 若，则。

R^※说，每个断定者都必定断定逻辑真理。

这是断定逻辑处理隐含断定的结果。

(A₄)所说的是，至少有一个断定者不断定假命题。由于林肯有一句格言：一个人不可能在所有的时间内愚弄所有的人，所以(A4)又被叫做“林肯原则”。在A2中有导出规则：

R^§ 当且仅当

R^§是说，逻辑真理并且只有逻辑真理才被普遍地断定。

(A₅)说的是，每一个真理至少被某个人所断定的；(A₆)是说，一个断定者断定他断定某命题等值于他断定该命题；(A₇)是说，每一个断定者或者断定任一给定命题或者断定它的否定，这就是说，每一断定者都是完善的，所以含有(A₇)作为公理的系统A₅叫做完善的断定逻辑系统。

可以证明，A₁一A₅是逐渐增强的断定逻辑系统，这就是说，前者分别是后者的子系统。若用“”表示包含于关系，则它们之间的关系可以表示为：A₁，A₅是最强的断定逻辑系统。

已经为断定逻辑建立了语义学。

我们现在为断定逻辑引入一个模型。在这个模型中，“断定者”是命题的有穷相容集x=｛p₁，p₂，……，p_n｝，令X=(p₁∧p₂∧……∧p_n)是x的所有元素的合取。然后我们将Axp看作是等于，这里“”表示严格蕴涵或衍推。于是，x断定p，当且仅当，X衍推p。

事实上，断定者现在是一个任意的(但相容的)公理系统，并且他断定在该系统中所得到的一切定理。可以证明，A₁－A₄可以被我们的模型所满足。若把“”解释为实质蕴涵，则(A₇)为我们的模型所满足，于是A₅也为模型所满足；若把它解释为严格蕴涵或衍推，则(A₇)不为该模型所满足，所以，A₅也不为该模型所满足。

断定逻辑还有其他的公理系统，并且正在进一步发展中。