圆锥的侧面积

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圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积为πrl．

注意 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积．

即：S_圆锥全=πrl+πr²．

例1 已知：Rt△ABC的两直角边AC=5cm，BC=12cm，以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为＿＿cm²．这个圆锥的侧面展开扇形的弧长为＿＿cm，面积＿＿cm²．

答 65π，10π，65π．

[解析] 以BC为轴旋转得到的圆锥底面半径为AC=5cm，母线长为AB，根据勾股定理．

∴S_圆锥侧=πrl=π×5×13=65π(cm²)，

也就是扇形面积为65πcm²．

∴l=10π(cm)．(扇形的半径就是圆锥的母线长AB)

例2 在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=1，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面面积是＿＿．

答 3π．

[解析] 所得圆锥的侧面展开图是扇形，它的面积为S_侧=π·1·3=3π．

例3 已知圆锥的母线长是5cm，底面半径是2cm，则这个圆锥的侧面积是＿＿cm²

答 10π．

[解析] π·2·5=10π．

例4 把一个半径为8cm的圆片，剪去一个圆心角为90°的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为＿＿．

[解析] 剩余部分扇形的弧长为12πcm，由2πr=12π得底面圆的半径r=6cm．

∵圆锥的母线长为8cm，

评注 用扇形围成圆锥时，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．

例5 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC>BC，若以AC为底面圆半径、BC为高的圆锥的侧面积为S₁，以BC为底面圆半径、AC为高的圆锥的侧面积为S₂，则( )．

A．S₁=S₂

B．S₁>S₂

C．S₁2

D．S₁、S₂的大小关系不确定

答 B．

[解析] ∵S₁=π·AC·AB，S₂=πBC·AB，而AC>BC，

∴S₁>S₂．

例6 新疆哈萨克民族是一个游牧民族，喜爱居住毡房，毡房的顶部是圆锥形，如图所示，为防雨需要在毡房顶部铺上防雨布，已知圆锥的底面直径是5．7m，母线长为3．2m，铺满毡房顶部至少需要防雨布为(精确到1m²)( )．

A．58m² B．29m²

C．26m² D．28m²

答 B．

[解析] ∵圆锥的底面直径是5．7m，母线长为3．2m，

∴圆锥的侧面积为π××3．2≈29(m²)．

例7 已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm²，母线是5cm，则圆锥的底面半径为( )．

A．3/2cm B．3cm

C．4cm D．6cm

答 B．

[解析] ∵圆锥的侧面展开图的面积为S=π·r·l，其中r为圆锥底面圆的半径，l为圆锥的母线长，

∴15π=π·r·5．

∴r=3．

评注 在解题过程中要区分扇形的半径与圆锥底面圆的半径．