正负术

 正负术曰(刘徽注：……方程自有赤、黑相取，法、实数相推求之术，而其并、减之势不得广通，故使赤、黑相消夺之。于算或减或益，同行异位殊为二品，各有并、减之差见于下焉。著此二条，特系之禾以成此二条之意。故赤、黑相杂足以定上下之程，减、益虽殊足以通左右之数，差、实虽分足以应同异之率。然则其正无入[原本作“无人”,依杨辉校，下同。]以负之，负无入正之[原本脱此五字，戴震校补],其率不妄也。):同名相除，(刘徽注：此谓以赤除赤，以黑除黑。行求相减者，为去[原本讹作“法”,李潢校正。]头位也。然则头位同名者当用此条，头位异名者当用下条。)异名相益，(刘徽注：益行减行，当各以其类矣。其异名者，非其类也。非其类者，犹无对也，非所得减也。故赤用黑对则除黑，无对则除赤[此有误，钱宝琮认为当作“赤用黑对则馀黑，黑用赤对则馀赤。]赤、黑并于本数。此为相益之，皆所以为消夺。消夺之与减益成一实也。术本取要，必除行首。至于他位，不嫌多少，故或令相减，或令相并，理无同异而一也。)正无入负之，负无入正之。(刘徽注：无入，为无对也。无所得减，则使消夺者居位也。其当以列实或减下实，而行中正、负杂者，亦用此条。此条者，同名减实，异名益实。正无入负之，负无入正之也。)其异名相除，同名相益。正无入正之，负无入负之。(刘徽注：此条异名相除为例，故亦与上条互取。凡正负所以记其同异，使二品互相取而已矣。言负者未必负于少，言正者未必正于多。故每一行之中虽复赤黑异算无伤。然则可得使头位常相与异名。此条之实兼通矣，遂以二条反覆一率。观其每与上下互相取位，则随算而言耳，犹一术也。又，本设诸行，欲因成数以相去耳，故其多少无限，令上下相命而已。若以正负相减，如数有旧增法者，每行可均之，不但数无左右之也。)
 

汉《九章算术·方程》

 【评】我们在“四则运算”类中已提及正负术。正负术最先是为方程消元法提出的，并且在十二世纪之前只用于方程术。刘徽详细论述了正负数在方程术中的应用，指出，为了消元方便，各行负号的取舍是相对的。

038 正负术

正负数加减运算法则。中国是世界上最早认识负数的国家。纪元以前，中国数学家已通晓正负数运算法则。其术文最早载于《九章算术》方程章。原文为：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”前四句是减法法则，后四句为加法法则。“同名”、“异名”即同号、异号； “相益”、“相除”即相加、相减；“无”即零。八句术文分别相当于以下八式：
a- (+b) =a-b ,a- (-b) =a+b ,
0- (+a) =-a ,0- (-a) =+a;
a+ (-b) =a-b,a+ (+b) =a+b ,
0+ (+a) =+a,0+ (-a) =-a,
与现今正负数加减法则完全一致。后世许多数学著作和历法对正负术多有叙及。东汉刘洪《乾象历》说：“强弱相并，同名相从，异名相消。其相减也：同名相消，异名相从。”1261年，杨辉在《详解九章算法》中将“益”、“从”与“除”、“消”分别统一为加、减，进一步揭示了正、负与加、减的关系。元朱世杰在《算学启蒙》中进一步给出了正负数乘法法则。