极坐标系中曲线的对称性jizuobiaoxi zhong quxian deduichenxing

在极坐标系中，点P(ρ,θ)与P₁ (ρ,-θ)或(-ρ,π-θ)关于极轴所在的直线对称.点P(ρ,θ)与P₂ (ρ,π-θ)或(-ρ,-θ)关于极垂线（过极点且与极轴垂直的直线）对称.点P(ρ,θ)与P₃ (ρ,π+θ)或(-ρ,θ)关于极点对称.这里，略去了点的一般表达式.
极坐标系中曲线的对称性有如下定理.
定理1 曲线C:f(ρ,θ)=0关于极轴所在的直线对称的充要条件是关于k的方程f((-1)^kρ₀,-θ₀+kπ) =0有整数解，其中f(ρ₀,θ₀)=0.
定理2 曲线C:f(ρ,θ)=0关于极垂线对称的充要条件是关于k的方程f((-1)^k+1ρ₀,-θ₀+kπ)=0有整数解，其中f(ρ₀,θ₀) =0.
定理3 曲线C:f(ρ,θ)=0关于直线θ=a对称的充要条件是关于k的方程f((-1)^kρ₀,kπ+2a-θ₀)=0有整数解，其中f(ρ₀,θ₀)=0.
定理4 曲线C:f(ρ,θ)=0关于极点对称的充要条件是关于k的方程f((-1)^k+1ρ₀,kπ+θ₀)=0有整数解，其中f(ρ₀,θ₀)=0.
中学数学教学中，为简便起见，略去了一般式，只考虑了常用的几种情况，列表如下.

	条 件	曲线的对称性
Ⅰ	f(ρ,θ)=f(ρ,-θ) 或f(ρ,θ)=f(-ρ,π-θ)	对称于极轴
Ⅱ	f(ρ,θ)=f(-ρ,-θ) 或f(ρ,θ)=f(ρ,π-θ)	对称于极垂线
Ⅲ	f(ρ,θ)=f(-ρ,θ) 或f(ρ,θ)=f(ρ,π+θ)	对称于极点

应用上表时应注意：
❶这里曲线的对称性，仅仅只是对于极轴、极垂线和极点而言.如果曲线本身是一个对称图形，但对称轴、对称中心不是上述的直线和点，这个表是无法判断的.

❷表中的条件只要有一条适合，就可以肯定图形的对称性，不要求两个条件同时成立.

❸因为极坐标系中一点坐标的多值性，所以在表中某项两个条件都不适合时，也不能肯定说曲线无对称性（这种情况一般比较少见）.

❹结合图形容易看出，只要曲线具有两种表中所列的对称性质，那么它必定具有表中所列的第三种对称性质.