整除问题Zhengchu wenti

就是做整数除法时是否能够除尽的问题， 与整除相关的问题一般都比较有趣且有一定的技巧性，是小学数学中内容丰富、引人入胜的部分之一。
解决整除问题的依据是整数的性质， 包括素数的概念和整数的因数分解等。此外，一些特殊的数的倍数的数字性质也很有用，例如，被2整除的数的个位数只能是2、4、6、8或0, 被5整除的数的个位数只能是0或5，被3整除的数的各位数字之和能被3整除，被9整除的数的各位数字之和能被9整除，被11整除的数奇数位上各位数字之和与偶数位上各位数字之和相等，或它们的差是11的倍数，被4整除的数的最后两位数能被4整数，而被25整除的数的后两位数只能是25、50、75或00。整除问题的求解往往需要上述性质的综合的灵活运用。
例1、证明199199能被7整除。
证： 因为199199=1001×199, 由能被11整除的数的性质， 知道1001能被11整除， 故有1001=11×91。而91=7×13于是199199=199×11×13×7能被7整除。
例2(第2届华罗庚金杯赛初赛):一时钟，每9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12时，既亮灯又响铃， 问： 下一次既亮灯又响铃是几时？
解：一小时是60分钟，问题实际上是几小时的分钟数能被9整除。3×60=180=9×20能被9整除，因此下一次既亮灯又响铃是下午3时。
例3: 求1343的最小质因数。
解：2和5显然不是1343的因数，1343的各位数字之和为11；不能被3整除，因此3不是1343的因数；而1343=1400-57, 7能整除1400，不能整除57, 因此7不是1343的因数； 1343的个位与百位数字之和为6，十位与千位数字之和为5，它们不等，故11也不是1343的因数；又1343=1300+43, 13能整除1300，不能整除43，故13也不是1343的因数； 下一个素数是17，我们用17去试除，得1343=17×79。所以1343的最小质因数是17。
例4（全国部分省市初中数学通讯赛）:由0,1,2,3, 4, 5, 6这七个数字组成许多没有重复数字的的七位数，其中有一些是55的倍数，在这些55的倍数中，求出最大的和最小的。
解： 是55的倍数意味着既是5的倍数又是11的倍数。是5的倍数个位数只能是0或者5。先看个位数是0的情况，由于能被11整除，故偶数位数字之和当与奇数位数字之和的差是11的倍数。但1+2+3+4+5+6=21是奇数，不能分成两个相等的数的和。而且最大3个数之和(4+5+6=15)与最小3个数之和(1+2+3=6)的差是9, 小于11, 因此， 个位数不能是0, 必须是5, 而且，0不能在百位、万位、百万位上出现。易见 (1+4+5+6)-(2+3+0) =11, 故2、3和0在十位、千位、十万位上出现， 而5、1、4、6在个位、百位、万位、百万位上出现，为使所得的数最大， 应数字大小由高位向低位排列， 而为使数字最小， 则排列方法相反。因此所求的最大的数为6342105, 最小数为1042635。