总体均数估计

总体均数的估计有点估计和区间估计。点估计是用样本均数来估计总体均数； 区间估计是求出总体均数的可能范围，方法随总体标准差是否已知而异： 总体标准差未知时按t分布原理计算； 总体标准差已知时按正态分布原理计算。此外，亦可用平方根纸图解求总体均数的可信区间。
总体均数的可信区间
(1)总体标准差未知时，一般按式(1)或式(2)计算可信区间。当样本含量n较大时，比如n>50，亦可按式(3)作近似计算，n越大，近似程度越好。因为根据统计量t的抽样分布原理：

式中μ为总体均数，为样本均数， s为样本标准差，n为样本含量。t的抽样分布曲线表明： 在界值-tα,v和tα,v以外的面积为α，如t≤-t0.05,v和t≥t0.05,v的概率为 α=0.05; 而在此两界值以内的面积为1-α，如-t0.05,v于是得可信度为1-α 时计算总体均数的可信区间的通式为

或写成

式中tα,_v是按自由度v=n-1由t界值表查得，如95%可信区间最为常用，即取α=0.05。
当v为无限大时，t分布呈正态分布，实用上当样本含量足够大时，式(2)可近似地用式(3)来代替，即

式中u_α。为可信度是1-α的标准正态（离）差，可由u界值表查得。如计算95%可信区间，u_0.05 =1.96；计算99%可信区间，u_0.01 =2.58。
(2)总体标准差已知时，按式(4)计算可信区间。由于实际工作中，总体标准差常为未知，故本法少用。
若从正态总体作随机抽样，当总体标准差σ已知时，统为标准正态分布，故总体均数的1-α可信区间为

式中uα的意义同式(3)。式(4)和式(3)的区别仅在式(4)中用σ，式(3)中用s。
例1 某矿对11名无矽肺矿工测血清铜蓝蛋白含量(活性单位/dl)，算得均数为6.5，标准差为1.36，试估计无矽肺矿工血清铜蓝蛋白的总体均数。
本例n=11, ＝6.5, s=1.36，自由度v=11-1=10。若取95%可信区间，则α=0.05，查t界值表t0.05,10=2.228，按式(2):

故无矽肺矿工血清铜蓝蛋白的点估计为6.5活性单位/dl，其95%可信区间为5.59～7.41活性单位/dl。
例2 某地500名健康成人末梢血液白细胞均数为7291个/mm³，标准差为1695个/mm³，试估计该地健康成人白细胞均数。
本例n=500, ＝7291,s=1695，若取95%可信区间， u0.05=1.96，按式(3):

故该地健康成人末梢血液白细胞均数的点估计为7291个/mm³，其95%可信区间为7142～7440个/mm³。
两总体均数差值的可信区间 经假设检验，已知两样本均数X₁与₂有差别，而两样本方差s21与s22的差别无显著性时，须进一步估计两总体均数差值的大小。则以两样本均数之差|_1-₂|作为点估计。 用式(5)作区间估计。

式中n₁、n₂分别为两样本含量，s1、s2分别为两样本标准差，s1-2为两样本均数之差的标准误。
例3 分别用甲、乙两药治疗某病患者，甲药治40人，乙药治38人。测得患者某指标的均数与标准差s, 甲药₁＝4.0,s₁＝0.6；乙药₂＝5.4, s₂＝0.8。 试估计两总体均数的差值。本例 n₁＝40, n2=38; ₁＝4.0, ₂＝5.4; s₁＝0.6,s₂ =0.8。

查t界值表，t0.05,76=1.99,
(1.4-1.99×0.16,1.4+1.99×0.16)=(1.1,1.7)。
两总体均数差值的点估计为1.4,95%可信区间为1.1～1.7。