仿射坐标变换fangshe zuobiao bianhuan
设已给两个仿射坐标系σ=〔O;e1,e2,e3〕,σ′=〔O′;e′1,e′2,e′3〕,σ叫做旧坐标系,σ′叫做新坐标系,把σ′的底矢e′1,e′2,e′3写成σ的底矢e1,e2,e3的线性组合

它的系数矩阵为

由于e′
1,e′
2,e′
3是σ′的坐标底矢,它们不共面,故行列式|A|=|a
ij|≠0.(1)叫做仿射坐标系的底矢变换公式,矩阵A叫做底矢变换矩阵.设矢量v在仿射坐标系σ和σ′的分量依次是X,Y,Z和X′,Y′,Z′,则

(3)叫做σ到σ′的矢的分量变换公式,其系数矩阵

叫做矢的分量变换矩阵.它是底矢变换矩阵A的转置,行列式|A′|=|A|≠0.从代数观点来看,(3)叫做齐次线性变换.若行列式|A′|≠0,则矩阵A叫做满秩的(或非奇异的),对应齐次线性变换叫做满秩(非奇异)齐次线性变换.所以一个仿射坐标系的矢的分量变换是一个满秩齐次线性变换.反之,若给了一个满秩齐次线性变换(3),由于|A′|≠0,就可以写出底矢变换(1),在此底矢变换下,矢的分量变换为(3).设P是空间任意一点,它在仿射坐标系σ,σ′下的坐标依次是(x,y,z),(x′,y′,z′),而σ′的原点O′在σ下的坐标为(x
0,y
0,z
0),则

其系数矩阵仍为A′,系数行列式|A′|≠0.从代数观点看,(5)叫做线性变换,若它的系数行列式|A′|≠0,则叫做满秩线性变换.点的仿射坐标变换,都是满秩线性变换.反之,对任一个形如(5)的满秩线性变换,都可以看作点的仿射坐标变换.只要仿射坐标变换的底矢变换为(1),以及新原点O′在旧坐标系下的坐标为(x
0,y
0,z
0)则在这样的仿射坐标变换下,点的仿射坐标即为式(5).