平面向量的基本定理

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如果e₁，e₂是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量a，存在惟一的一对实数λ，μ，使a=λe₁+μe₂．

例1 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+，λ∈[0，+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )．

分析 (1)设．

∵A、B、C三点构成一个三角形，

∴，即a+b+c=0，只要将，，用a，b，c向量表示即可．

(2)将，，分别用，；，；，表示出来，得：

．

再证明++=0即可．

解：(1)∵ ，∴．

∵，∴=0．

(2)∵ ，

∴ ．

设D为BC之中点，延长AD至F，使|GD|=|DF|．

∵|BD|=|DC|，

∴四边形BGCF为平行四边形．

∴．

∵点G为△ABC的重心，∴ ．

∴．

∴．

∴．