间接效用函数Indirect Utitity Function

间接效用函数是相对于直接效用函数而言的，直接效用函数是商品数量的函数，而间接效用函数是收入与价格的函数。假定存在X₁,X₂,X₃，…X_n种商品，则直接效用函数可以写作

U=U (X₁,X₂，…X_n)

消费者的预算约束条件为

Y=P₁X₁+P₂X₂+…+P_nX_n

其中Y为消费者收入，P_i为Ⅰ种商品的价格。求效用最大化时的最优解，可以得出各种商品的普通需求函数：

X_i＝X_i(P₁P₂…P_n,Y) I=1，…，n

它表示在一定的价格水平下，消费者所选择的消费量。将此式代回直接效用函数就得到间接效用函数

u^*(P₁P₂…P_n,Y) =u (X₁(P₁P₂…P_n,Y)，…X₂(P₁P₂…P_n,Y) …X_n(P₁P₂…P_n,Y))

一般就写作：

u^*＝u^*(P₁P₂…P_n,Y)

间接效用与直接效用函数存在对偶关系。如果直接效用函数是严格正则拟凹的增函数，那么对应的间接效用函数为严格正则拟凸的减函数。间接效用函数与直接效用函数相互对应，且可相互推导。

间接效用函数Indirect Utility Function

表示效用的最大值与商品价格和消费者收入之间的关系。由根据效用最大化一阶条件所求出的各商品马歇尔需求函数带入效用函数导出。设直接效用函数为：

马歇尔需求函数为：

间接效用函数定义为：

对于给定的价格向量和收入，间接效用函数等于在相应最佳消费束处的直接效用函数值。间接效用函数的优点在于，由它可以直接导出马歇尔需求函数而不需要最优化过程，其方法由罗伊(Roys)恒等式给出，即：

间接效用函数具有以下性质：
(1)V(,m)对所有的>0,m >0都是连续的；
(2)V(,m)是关于的非递增函数，即
(3)V(,m)对m是非递减函数， 即
(4)V(,m)是关于p的拟凸函数，即对所有的实数k都是一个凸集；
(5)V(,m)对(,m)具有零阶齐次性，其中t是任意非零常数。间接效用函数与支出函数的关系是：

式中，E(,u)是支出函数。
〖参〗效用函数
　马歇尔需求函数
　支出函数

间接效用函数indirect utility function

参见“支出函数”。