费尔马数feiermashu

形如F_n＝2²ⁿ+1的数.因为F₀＝3,F₁＝5,F₂＝17,F₃＝257,F₄＝65 537都是素数，由此费尔马曾猜测，所有的费尔马数都是素数，但是这个猜测被欧拉否定了，他证明了F₅＝2²⁵+1可被641整除.
到目前为止，只知道上面5个费尔马数是素数，而没有发现任何一个新的费尔马数是素数.目前已经知道48个费尔马数是合数，对这些合数的了解也是不够充分的，例如，当n=5,6,7时已经知道Fn的标准分解式，但当n=8,9,10,11,12,13,15,16,18,19,21,23时，只知道F_n的部分素因数，并不知道这些F_n的标准分解式.而当n=14时，只知道F₁₄是合数，还不知道它的任何一个素因数.此外，当n=17,20,22,24时，还不知道这些Fn是素数还是合数.因此在费尔马数中，是否有无穷多个素数，是否有无穷多个合数，这些都是至今没有解决的问题.
费尔马数与平面几何的一些问题有联系.例如，高斯曾经证明了，如果Fn是素数，则正Fn边形可以用圆规直尺来作图.由于从一个正n边形出发，通过等分它的每一个中心角就可以得到一个正2n边形，因此为了判明哪些正n边形可以用圆规直尺作出，只要讨论奇数n的情形就够了.高斯进一步证明了，若n是一个正奇数，则当且仅当n是一个费尔马素数，或是若干个费尔马素数的乘积时，正n边形可用圆规直尺作出.由此可知，边数不超过50，且边数为奇数的正多边形中，只有当n=3,5,17,15时，可用圆规直尺作出，其余都不能用圆规直尺作出.

费尔马数Fei'ermashu

1640年，被后人称为“业余数学家之王”的法国数学家费尔马考虑了这样一种类型的自然数F_n:
F_n＝22n+1
他验算了Fn在n=0, 1, 2, 3, 4时的值：
F₀＝3, F₁＝5, F₂＝17,F₃＝257, F₄＝65537,
它们都是素数。可能是由于F5=4294967297数值太大，费尔马没有继续验算，就在给另一位法国业余数学家默森尼(Mersenne,M.1588—1648)的一封信中断言：Fn对一切自然数n都给出素数。后来人们就称这种数为费尔马数。
然而，1732年大数学家欧拉指出：F₅是合数，而且可以分解为：
F₅＝641×6700417
因此，费尔马的猜测是错误的。欧拉还证明， 不论Fn是否为素数， 其素因数一定为k·2ⁿ⁺¹+1型， 其中k为正整数。尽管如此，由于费尔马数奇特的形式与美妙的性质， 后世数学家对它仍充满了兴趣。1877年， 法国数学家吕卡 (Lucas, F.-E.-A.,1842—1891) 改进了欧拉的结果，证明：F_n的每个素因数都为k·2ⁿ⁺²+1型，其中k为正整数。同年，数学家皮平(Pepin,T.)给出了一个强有力的判别法： F_n为素数的充要条件是： Fn整除3Fn-1/2+1。此后， 一系列费尔马数相继被证明是合数：1878年，俄国数学家证明F₁₂有因数7×2¹⁴+1=114689, F₂₃有因数5×2²⁵+1=167772161,1880年， 兰德瑞 (Landry) 发现
F₆＝274177×67280421310721
其中 274177=1071×2⁸+1, 67280421310721=262814145745×2⁸+1。1886年，西尔霍夫(Seelhoff)证明：F₃₆能被10×2³⁸+1=2748779069441整除。只要想象一下F₃₆的位数竟然超过了200亿、把它印成一行铅字将比赤道还长， 就可以知道在当时这是一件多么令人吃惊的工作了，分解Fn的工作极为困难。例如，虽然人们在1905年已经证明有39位数的F₇是合数，但直到1971年才借助电子计算机成功地将其分解为两个分别具有17位数字和22位数字的素数之积。1909年已经知道F₈是合数， 但直到1981年才发现了它的一个因数，而1963年已被证明是合数的F₁₄，至今尚未求得任何因数。
迄今为止， 人们已经发现了80多个费尔马合数，其中最大的F₂₃₄₇₁约有3×10⁷⁰⁶⁷位数字。但是，除了当年费尔马本人发现的5个费尔马素数以外， 却连一个新的这种素数也没有发现。人们既不知道还有没有别的费尔马素数， 也不知道它们的个数是有限还是无限的。人们同样也不知道在费尔马数中是否存在无穷多个合数。
费尔马数有许多奇妙的性质， 而最出人意料的是它与正多边形作图的密切联系。1801年，高斯在他的名著《算术研究》中证明：一个正n边形可以按尺规作图的严格规定作出的充要条件是：n=2^k(k=2,3,4…)，或者n=2m·P₁P₂…pr，这里m≥0，而p₁,p₂……pr是不同的费尔马素数。根据这一定理， 当边数不超过100时，可以尺规作图的正多边形只有24种，即当n分别取以下数值时：

1832年，德国数学家里歇特(Richert. H.—E.,1808—1875)解决了正257边形的作图，其过程写满了80页纸。后来，又有一位数学家穷10年之功解决了正65537边形的作图，据说其手稿可以装满一只手提箱，真可谓世界上最烦琐的尺规作图题了。

费尔马数

形如22v+1的整数。费尔马猜想这些费尔马数p都是素数。但至今除v=0,1,2,3,4时p都是素数及v=5时p可被641除尽外，尚不知其他费尔马数是否是素数。费尔马数与正n边形的几何作图问题有密切关系。