关于角平分线的3个定理

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1．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

2．在一个角内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

3．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

注意 1．前两个定理是一对互逆定理．

2．因为角平分线是在角的内部的射线，所以第2个定理要附加“在角的内部”这个条件．

如图：

到∠AOB的两边距离相等的点的集合是射线OC、OD、OE和OF．

但其中只有射线OC(即在∠AOB的内部)才是∠AOB的平分线．

例1 如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，F在AC上且BD=DF．

求证：CF=EB．

证明 ∵∠C=90°，∴DC⊥AC．

又∵DE⊥AB于E，AD平分∠BAC．

∴DE=DC．(角平分线上的点到角两边距离相等)

在Rt△CDF与Rt△EBD中

DC=DE；

BD=DF．

∴Rt△CDF≌Rt△EBD．(HL)

∴CF=EB．

例2 已知：BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E．

求证：D在∠BAC的平分线上．

证明 ∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED=∠CFD=90°．

在△BED与△CFD中

∴△BED≌△CFD．

∴DE=DF．

又∵DE⊥AB，DF⊥AC．

∴D在∠BAC的平分线上．(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)

例3 如图：三条公路两两相交，交点分别为A、B、C现计划修一个油库．

要求到三条公路的距离相等，则选址的方法有几种?并说明理由．

答 选址方法有四种，△ABC三个内角平分线交于一点(1种)△ABC两个外角平分线和第三个内角平分线交于1点(3种)共4个点．

理由：角平分线性质定理．