九章算术

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九卷。

作者及成书年代不详。《九章算术》是现有传本的最古老的中国数学经典著作。书中内容多反映西汉时期事例，一般认为是在较长时期内，经多人之手纂辑修改而成，刘徽在《九章算术注原序》中说：“往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。

苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。

”说明《九章》是周秦以来数学发展总结性的代表作。《九章算术》共二百四十六道应用问题，并按问题的性质和解法分为九大类，每类为一卷。

每一大类又分为若干小类，每一小类都有一般解题步骤，即“术”，相当于公式。卷一方田章三十八问二十一术，专讲各种形状地亩面积的计算和分数的四则运算；卷二粟米章四十六问三十三术，专论各种谷物之间的换算；卷三衰分章二十问二十二术，论述配分比例算法，问题多与商业、手工业及社会制度有关；卷四少广章二十四问十六术，专讲开平方、开立方问题；卷五商功章二十八问二十四术，论述各种土木工程中所提出的数学问题的解法；卷六均输章二十八问二十八术，主要讲根据均输法纳税和输送等方面的计算问题；卷七盈不足章二十问十七术，讲盈亏类问题解法和比例问题；卷八方程章十八问十九术，专讲多元一次方程组应用问题的解法；卷九勾股章二十四问二十二术，专论勾股定理及其各种应用。总共二百四十六问二百零二术。每道题有问有答有术，或一题一术，或一题多术、多题一术，大部分无计算过程和演草。

从学科而论，《九章》涉及算术、代数、几何三方面内容。算术方面有分数概念与计算，主要分布在卷一、二、三各章，包括分数四则运算、约分、通分、化带分数为假分数，其步骤与今法相同。其中求最大公约数的“更相减损”很有创造性，可与西方欧几里得辗转相除法媲美。在卷二、三、六、九各节中专讲比率的各种算法，这套理论与方法成为中算理论的主要基础，今有术则是比率算法中最重要的法则，即四项比例算法，与比率有关的其他算法都在今有术基础上演化而来。

实际应用中只要“因物成率，审辨名分”，便可据物之比率由今有数据求得未知数据。卷七专讲盈不足术，它在中算中亦占相当重要地位。盈不足术是把假设试验结合于理论推证的数学方法，通过两次假设试算，将一般应用问题化为特定的盈亏类数学模型，从而用固定的演算程序求解，这是中算史上一项创造，在世界数学史上占有一定地位。《九章》中代数内容有开平方、开立方法，这是中算方程论的基础。

开方术既简且明，计算步骤与今术相同，所不同的是古法用筹计算，运演过程繁琐麻烦。

为了解方程需要，在方程章中出现了正负数概念与运算法则：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”这是正负数加减法则，但没有出现乘除法则。

负数概念的提出是中算发展一大里程碑，且具有世界意义。《九章》中的方程即联立一次方程组，其各项未知量的系数用算筹表示有如方阵，故曰“方程”。包含不止一个未知量算式及联立方程组概念的提出，全世界当推《九章》最早。

其解法相当于现在加减消元法，但繁于今法：先遍乘，再累减，称为“直除”法。

方程章的“五家共井”问题，当为世界上最早的不定方程组。勾股章第二十题求邑方大小为一元二次方程问题，求解答吻合于求根公式，为我国解一元二次方程起源。

几何方面的内容分布在卷一、五、九各章。在方田章中讲了正方形、长方形、三角形、梯形、圆、弓形、圆环等面积的计算公式，除弓形稍有出入外，其他面积公式都是正确的。

体积计算见商功章，其论述了城积(底为等腰梯形的直棱柱)、方堢(正四棱柱)、圆堢(正圆柱)、方亭(正四棱台)、圆亭(正圆台)、方锥、圆锥、堑堵、阳马、鳖朒、羡除、刍甍、刍童、盘池、冥谷、曲池等体积公式，其计算方法都是正确的；在少广章有一“开立圆”题，相当于给出了球积公式，误差较大。在勾股章中先讲勾股定理及其变形，然后讲应用，其内容有勾股互求、勾股整数、勾股两容、相似勾股性质等四类。通过相似勾股形的性质把几何问题转化为代数问题，并与体积或面积联系在一起，推导出一系列计算公式，形成了我国独特的几何学。《九章算术》对后世产生了极大影响：(1)在数学教育方面，长期成为传播数学知识的教科书，由汉至元，学中算者无不先习《九章》，隋唐时成为立于学官的十书之一；(2)中国数学名家均自《九章》而出，或研读，或注释之，成为中算家摇篮；(3)形成“九章”体例，后世中算家著书立说，或按其格式编写，或冠以“九章”之名；(4)流传至国外，对日本、朝鲜等国数学发展颇具影响。

《九章》成书后，为之作注者有：三国魏人刘徽(263)，唐李淳风校注，北宋贾宪《黄帝九章算法细草》九卷(约1050)，南宋杨辉《详解九章算法》十二卷(1261)，清李潢(?一1811)《九章算术细草图说》九卷等。当代中算史家钱宝琮(1892－1974)于1963年校点《九章》，1980年白尚恕著《〈九章算术〉注释》。1990年李继闵著《东方数学典籍〈九章算术〉及其刘徽注研究》，吴文俊主编《〈九章算术〉与刘徽》，两书标志《九章》研究进入新阶段。《九章》版本有：南宋鲍浣之刻本，《四库》本，《丛书集成》本，孔氏微波榭本，《四部丛刊》本，《万有文库》本，1963年钱宝琮校点本。