幻方

044 幻方

亦称魔方，即纵横图。见32043。

幻方Huanfang

又称魔方(magic square)，中国古代则称之为纵横图。一个n阶幻方通常是指从1到n²的连续自然数排成的一个n×n方阵，其中每行、每列及对角线上的n个数之和都相等(等于1_/2n(n²+1)，我们称这个和数为幻和。现代所说的幻方，也可以不从1开始，甚至可以不是连续的自然数，于是幻和也随之改变。
最简单的幻方， 是三阶幻方
4 9 23 5 78 1 6
它的纵、横、斜三数之和都是15。中外学者一致认为，世界上最古老的幻方起源于中国，其历史十分久远。传说，大禹治水时，洛水中出现一个“神龟”，背上有图案(图见 “中国古代数学”条)，史称“洛书”，用现在的数码写出来就是上面的三阶幻方。
南宋数学家杨辉 《续古摘奇算法》 (1275) 始有“纵横图”之名，书中收入13个幻方，除洛书（或称九宫）外，还有4—8阶幻方各二，9、10阶幻方各一。书中对于偶数阶幻方及3n阶幻方已概括出一些制作方法，还收入一些呈圆形组合的数字阵，为一些同心圆或对称圆，各圆周或直径上的数字之和相等，现在一般称这种数字阵为幻圆。
据说，古代希腊、印度人都曾注意到幻方。阿拉伯最早研究幻方的是泰比特·伊本·柯拉 (Tabit ibnKorra, 836～901)。在元代曾有阿拉伯人制作的四阶及六阶幻方传入中国。在中世纪的欧洲，幻方因其奇妙的性质被认为具有某种魔力，因而被用作护身符。欧洲人约从14世纪开始研究幻方构造方法，16世纪达到高潮。德国人丢勒(A. Durer,1471—1528) 在他的著名版元代传入中国的阿 画 “忧郁” 中刻有四阶幻方拉伯六阶幻方

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

第4行中间两格的数字1 514恰为其制作年代。许多大数学家都曾醉心于幻方的研究，例如施蒂费尔(M.Stifel，德，约1487—1567)、卡尔达诺(G. Cardano，意， 1501—1576)、巴歇 (C. G. Bachet de Meziriac，法，1581—1638)、费尔马(P.de Fermat，法，1601—1665)、欧拉(L. Euler，瑞士， 1707—1783)等。16世纪以后，随着西方传教士来华，欧洲人对幻方的研究成果也曾有一些传入中国。
过去， 人们仅把幻方看作一种有趣的数学游戏或具有神秘感的吉祥物。随着现代数学尤其是电子计算机的发展，幻方日益显示出与群论、组合数学、程序设计、图论、人工智能、对策论等的密切联系与广泛应用，在新的意义上引起越来越深入的研究。