位似法解作图题weisifa jie zuotuti

利用题中某些已知的条件，先作出一个和所求作的图形相似的图形，然后利用位似变换的原理变换成所求作的图形.
例如，在已知的锐角三角形内求作一内接正方形.

已知 锐角△ABC.
求作 △ABC的内接正方形，使它的两个顶点在BC边上，另外两个顶点分别在AB,AC边上.
分析 假定所求的正方形是DEFG，两顶点D,E在BC上，另两顶点F,G分别在AC,AB边上.连结BF.在BF上任取一点F′，作F′ G′∥FG,F′ E′∥FE,G′D′∥GD，那么△BFG∽△BF′G′.所以FG:F′G′=BF:BF′.同理FE:F′E′=BF:BF′.于是由FG=FE可知F′G′=F′E′.所以四边形D′E′F′G′也是正方形.因为正方形D′E′F′G′易作.所以可利用B,F′,F三点共线而得F点.于是正方形DEFG可作.
作法
❶在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC于D′.
❷以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′.
❸连结BF′并延长交AC于F.
❹作FG∥CB交AB于G.过F,G各作BC的垂线FE,GD.则四边形DEFG就是所求的内接正方形.
证明 因为FG∥F′G′,FE∥F′E′，所以△BFG∽△BF′G′,FG:F′G′=BF:BF′.同理FE:F′E′=BF: BF′.所以FG : F′G′=FE: F′E′.因为F′ E′=F′G′.所以FE=FG.又知DEFG为矩形.所以DEFG为正方形.
讨论 用同样的方法，可以在AB边或AC边上作内接正方形.所以本题有三解.