M1－空间

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1961年赛特(Ceder)引入M₁、M₂、M₃空间如下：“正则空间X称为M₁－空间如果X具有σ－闭包保持基；称为M₂－空间，如果X具有σ－闭包保持拟基，T₁空间X称为M₃－空间如果X具有σ－胶垫对基。”这些空间都是度量空间的简单而有效的推广。

由M_i(i=1，2，3)空间的定义，易知。

至于相反蕴含关系是否成立是赛特当年提出的问题。正因为闭包持拟基概念与胶垫对基概念较接近，在赛特的论文中，有许多性质为M₂，M₃空间所共有(证明方法也类似)，而M₁空间是否具有这些性质，至今尚不知。

因此，人们首先致力于证明。15年后，格龙哈格(Gruenhage，1976)、游尼剌(．Junnila，1978)独立地证明了。这一成功激励著人们继续向证明进军。由于就M₁－空间本身研究其性质，困难大而很少成效，一旦证明了，M₃－空间的良好性质(M₃－空间又称分层空间，具有非常良好的性质，见本书“σ－空间与Σ－空间”)都是M₁－空间的性质。

遗憾的是20余年来，既不能证明又不能找到否定的反例。这可能与对M₁－空间本身性质的研究太少有关，所以作者的意见，以后的研究应以研究M₁－空间的性质与试证并重。

赛特得到的关于M₁－空间的性质是作为M_i－(i=1，2，3)空间的共同性质叙述的：(1)仿紧且完全正规。(2)M_i－空间类分别关于可数积封闭。

(3)在M_i－空间：可分性，Lindelof性质、可数链条件(countable chain condition)等价。(4)仿紧的局部M_i－空间是M_i－空间。

赛特证明了M₂－空间、M₃－空间具有遗传性、满足局部有限闭和定理及关于闭子集的商空间保持后，分别提出如下问题：(1)M₁－空间的子空间(闭子空间)是M₁否?(2)关于M₁－空间，局部有限闭和定理是否成立?(3)设X是M₁－空间，闭集，商空间X／A是M₁否?

这些问题至今尚未解决，下面提供些部分结果。

关于问题(1)，易知M₁－空间的开子空间是M₁。此外伊藤宗彦(Ito，1984)证明了“M₁－空间的稠子空间是M₁。”从而可知，对M₁－空间说：闭遗传性遗传性。

关于问题(2)，高国士(1983)、伊藤宗彦(1984)互相独立地证明了“关于M₁－空间，局部有限正则闭和定理成立。”即如果X存在由正则闭集组成的局部有限覆盖｛X_a｝，每一X_a是M₁－空间则X是M₁－空间。

此外，高国士还得到“设X是是正规空间。｛｝是X的局部有限开覆盖，且每一U_a是M₁－空间，则X是M₁－空间。”这定理改进了性质(4)的M₁－空间部分。考察赛特对M₂－空间、M₃－空间局部有限闭和定理成立的证明过程，他先证明两个闭子空间的并情况。

如果两个M₁－的闭子空间的并是M₁的话，则赛特的证法对M₁－空间也成立，所以问题(2)可以转化为“两个M₁闭子空间的并是M₁否?”答案如果是肯定的话，则局部有限闭和定理对M₁－空间成立，肯定地解决了问题(2)。如果答案是否定的，则存在不是M₁－空间的M₃－空间。

关于问题(3)，朱俊(1985)、夏省祥(1986)分别得到：“设M₁－空间X的闭子集A的边缘是紧的，则X／A是M₁－空间”及“设M₁－空间X的闭子集A是可数个开一闭集的交，则X／A是M₁－空间。”波什等(Borges-Lutzer，1974)指出问题(3)等价于问题(4)：“M₁－空间的每一闭子集都具有σ－闭包保持开邻域基否?”

赛特证明M₂－空间的每一闭子集都具有闭包保持邻域拟基后，提出问题(5)：“M₁－空间的每一点都具有闭保持开邻域基否?”并证明：如果问题(5)的答案是否定的，则存在不是M₁－空间的M₃－空间。

问题(3)中M₁－空间X到商空间X／A上的商映射显然是闭的。更一般地可提出如下问题(6)：“M₁－空间能为闭(完备)映射保持否?”关于这问题的部分结果，有波什等的“设f是M₁－空间X到空间Y上的不可约(irreducible)完备映射，则Y是M₁－空间”及高国士的“设f是M₁－空间X到Y上的拟开的(quasi-iopen)可数双商(countably biquotient)闭映射，则Y是M_i－空间。”由于不可约、伪开(pseudo-open)映射是拟开的，完备映射是可数双商的，所以后者改进了前者。根据上述二定理，可提出如下问题(7)：M₁－空间能为不可约(拟开)闭映射保持否?”关于这个问题，夏省祥有如下结果：“M₁－空间为不可约(拟开)闭映射保持当且仅当M₁－空间的每一闭子集具有(σ－)闭包保持开邻域基。”这结果说明问题(7)等价于问题(4)，此外，伊藤宗彦证明了一个重要结果：“遗传性M₁－空间为闭映射保持”。

自1976年、1978年，格龙哈格、游尼剌证明后，人们热衷于证明。但仅得到一些等价条件。在格龙哈格、游尼剌已证明的基础上，海丝(Heath，1981)等遵循当年赛特引入M₂－空间的思路，对每一M₂空间构造相应的M₁－空间及由这M₁－空间到M₂－空间上的完备映射(且是retraction)。

得到：“每一M₂－空间是某一M₁－空间的完备象。”

从而得到下述等价条件：(1)。

(2)M₁－空间的闭子空间是M₁－空间。(3)M₁－空间在完备(闭)映射下的象是M₁－空间。

这定理统一了问题(1)及问题(6)(包括问题(3))，对M₁问题的研究有效地提供了广阔的论证基础。

最后叙述伊藤宗彦又一重要结果：“设M₃－空间X的每一点具有闭包保持开邻域基，则X是M₁－空间。”

关于问题的研究已持续30年，不仅没有解决，而且看不到任何可以解决的迹象。这是拓扑空间理论中最著名的难题之一，最近美国玛丽罗定(Mary Rudin)对此甚感兴趣，重新提出这一问题(见《Open problems in topoloy》，North-Holland，1990)。

。【参考文献】：

1 Ceder J. Pacific J. Math, 1961,11,105～125

2 Gruenhage G. Stratifiable spaces are M₂, Topology Proceedings, 1976,1:221～226

3 On the M₃=>M₁ question. Topopolgy Proceedings, 1980,5: 77～104

3 Heath R. W. et al. Proc Amer Math Soc, 1981,83:146～ 1.48

4 朱俊．苏州大学学报，1983，1∶67～70

5 Kao Kuo-Shih．Pacific J Math，1983，108∶121～128

6 Ito M．Pacific J Math，1984，113∶85～91

7 夏省祥．仿紧性与广义度量空间，南京：江苏科技出版社，1988，213～224

8 高国士．苏州大学学报，1988，3∶289～300

(苏州大学高国士教授撰)