连续统

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可以同全体实数建立一一对应关系的几何图形上所有点的集合。

线性连续统即一条直线上所有点的集合，二维连续统即一个平面上所有点的集合，余类推。连续统同全体实数的一一对应关系，是由德国数学家康托尔(Cahtoy，G)证明的。康托尔还提出，在不可数集合的基数中，连续统的基数是最小的。可数集合的全体子集所构成的集合的基数，恰好等于连续统的基数。同时，连续统的基数又等于第一级超限序数的基数。后一个判断是康托尔未能证明的。它通常被称为“连续统假设”。希尔伯特(Chilbert，D．)曾把它列入尚未解决的23个重要数学问题之中。

1938年，哥德尔(Godel，K．)证明了连续统假设对于通常的集合论公理系统(Zermdo-Fraenkel系统)的相对一致性。1963年，科恩(Cohen，P．J．)证明了连续统假设对于该系统的独立性。这些事实表明，连续统假设在公理集合论中的地位，同平行公理在几何学中的地位是类似的。连续统假设的真伪性问题，至今尚未解决。

这方面的研究是数理逻辑发展的一个重要方向。