直线与抛物线

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例1 已知抛物线y²=—8x，过点P₀(—1，1)引一条弦，使此弦在P₀点被平分，求弦所在的直线方程．

解 设所求弦的直线方程为

y—1=k(x+1)，

即y=kx+k+1

把❶ 代入❷ 得

即ky²+8y—8k—8=0．

设所求弦的两端点为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)由韦达定理，得

又∵P₀(—1，1)是弦的中点，

即k=—4．

∴此弦所在直线方程为：

4x+y+3=0，

例2 A、B是抛物线y²=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求证：

(1)A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；

(2)直线AB经过一个定点．

证明 (1)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则 ．

因为OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，

所以—4p²y₁y₂，

所以y₁y₂=—4p²为定值，x₁x₂=—y₁y₂=4p²也为定值．

(2)因为2p(x₂—x₁)，

所以直线AB过定点(2p，0)．

例3 抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(—1，0)和点B(0，8)关于过圆点O的直线l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．

策略 本题可用待定系数法，设出直线l和抛物线C的方程，再求出点A和B关于l的对称点A′和B′，根据A′、B′的坐标(含参数)满足抛物线方程得出关于两个参数的方程组，解出参数值即可求出l和C的方程．

解 由题意设直线l和抛物线C的方程分别为y=kx(k≠0)和y²=2px(p>0)．

设A(—1，0)和B(0，8)关于l的对称点分别为A′(x₁，y₁)，B′(x₂，y₂)，

∵A′、B′在抛物线C上．

❶ ÷❷ 消去p，整理得k=k²—1，

把代入❶ 得．

所以，直线l的方程为，抛物线C的方程为．