波函数

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像电子、原子、分子(非高分子)等这样微小的粒子称为微观粒子或微粒子。

由亿万个原子、分子构成的物体如小石块、铅球乃至一粒灰尘，称为宏观粒子。微观粒子与宏观粒子的运动规律有著本质的区别，其一是微观粒子在空间的坐标即其位置是不确定的。

例如，绕氢原子核运动的电子的坐标就是不确定的，人们不能知道这一电子什么时候位于什么地方。由此，微观粒子的状态不能像宏观粒子那样用坐标(及其动量)来描述。但是，某一体系中的微观粒子在某一时刻出现在空间某一点的几率密度即单位体积内的几率是一定的。根据微观粒子的这一客观性质，于是人们用一坐标和时间的函数Ψ(q，t)来描述微观粒子体系的状态。

对于单个粒子体系，式中q表示这一粒子的坐标(x，y，z)。对于n个粒子体系，q表示这n个粒子的坐标(x₁，y₁，z₁，x₂，y₂，z₂，…，x_n，y_n，z_n)。

t是时间。ψ(q，t)称为状态函数或波函数。

满足下式的波函数ψ称为是归一化的。

式中dz=dx_idy₁dz_idx₂dy₂dz₂…dx_ndy_ndz_n，积分上下限遍及每个粒子的所有变化范围。

通常是整个空间，｜ψ｜是Ψ的模，ψ^*是ψ的共轭复数，考虑到波函数ψ的值可能是复数，为使其积分为一实数，所以被积函数要用波函数模的平方即ψ^*ψ。

如果波函数是归一化的，则其模的平方｜ψ｜²即ψ^*ψ表示在时刻t，第一个粒子出现在(x1，y1，z1)，而同时第二个粒子出现在(x₂，y₂，z₂)，…第n个粒子出现在(x_n，y_n，z_n)的几率密度。

如果波函数ψ波有归一化，可以乘上一个常数因子使其归一化。

波函数应当是连续的、单值的和平方可积的，这称为波函数的三个标准条件。