多元回归预测的显著性检验

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用根据样本数据建立的多元回归预测模型推断总体，评价它的统计意义能否成立，是否符合于总体实际，能否可信地用以进行预测。

多元回归预测的显著性检验主要包括三方面的内容，即总体的显著性检验、各个偏回归系数的检验、复相关系数的检验。

(1)F－检验：联合检验所有被估计的总体参数是否与零有显著不同。先作假设H₀∶a=b…=0，H₁∶各参数不同时为零；然后计算F′。

检验统计量F′的值是经自由度校正以后的回归平方和对误差平方和的比值，计算公式为：

式中：K为自变量个数，n为数据项数。

计算出F′值后，再按预先给定的显著性水平α，并按第一个对应于回归平方和的自由度K以及第二个对应于误差平方和的自由度n－K－1，查F分布表得F′_{α，K，n－K－1}的临界值。比较F′值和F值，如F′＞F，则说明在显著性水平α下，Y与诸X变量的线性关系是显著的，否定零假设。

反之，则接受零假设。

(2)偏回归系数b_j的t检验。第一步，先作假设H₀∶B_j=0，H₁∶B_j≠0，然后将回归系数b_j的估计值除以该系数的标准误差求得tj统计量，以表明b_j的估计值离开零的标准误差数，即：

式中：S_Y12，K为Y估计值的标准误差；C_ij为高斯乘数。第二步，给定显著性水平α，查t分布表得自由度为n－K－1显著性水平为α的t_{α／2n－K－1}临界值。如t′j＞t_{α／2，n－K－1}，则偏回归系数b_j与零有显著不同，X_ij可保留在方程中。反之，则接受零假设。

(3)复相关系数的检验。先作假设H₀∶P_{Yi，2，－K}=0，H₁∶P_Y12，K≠0，再按下式计算F′统计量：

式中：K为自变量个数，n为数据项数，R²为决定系数。然后按给定的显著性水平α查F分布表得F_αKu－K－1的临界值。比较F′值和F值，如F′＞F，可以认为在显著性水平α下，Y与诸X变量之间的复相关关系是显著的，否定零假设；反之，则接受零假设。