圆心角、弧、弦之间的关系定理的推论

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在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

注意 定理和推论的前提条件“同圆或等圆”必不可少．

比如：大小不等的圆中可以有相等的圆心角，但所对的弧、所对的弦不一定相等．

两个同心圆中，同样的圆心角所对弦AB≠ CD，．

例1 在☉O中，如果，那么弦AB与CD之间有( )．

A．AB<2CD

B．AB=CD

C．AB>2CD

D．不能确定

答 A．

[解析] 如图，，取的中点P，则．

∴AP=BP=CD，在△ABP中，AB

例2 已知：☉O中，AB、CD是两条非直径且相等的弦．

求证：两条弦的弦心距(圆心到弦的距离)相等．

证明 过O点分别作OM⊥CD于M点ON⊥AB于N点，连接OB、OD．

∵AB=CD，根据垂径定理．

[解析] 圆心角同弧、弦之间关系定理的推论可以推广为：圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系定理，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

例3 如图，☉O的两条弦AB、CD相交于点P，且OP平分∠BPD．

求证：．

证明 过O点作OM⊥CD于M点．

作ON⊥AB于N点．

∵OP平分∠BPD，

∴OM=ON．

∴AB=CD．

∴．

∴．