鲁里叶问题研究的突破性进展

135 鲁里叶问题研究的突破性进展

1944年苏联控制论数学家鲁里叶从飞机自动驾驶仪的稳定性分析中提出绝对稳定的概念及探求绝对稳定充要条件的问题。通称鲁里叶问题。许多实际非线性控制系统都能抽象出这类数学模型。因而鲁里叶问题的研究具有普遍理论意义和广泛实用价值。50、60年代，苏美先后开展研究。1959年罗马尼亚著名应用数学家波波夫提出频率准则。其后的研究未得到突破性结果。中国于60年代初由金福临、李训经主持的讨论班开展了卓有成效的研究。1978年以来，赵素霞、朱思铭、谢惠民、李森林、叶伯英、王慕秋、舒仲周、裘晓钢、王国荣、肖淑贤和阮炯等先后取得若干研究成果。谢惠民出版了中国第一本绝对稳定性研究的专著。华中师范大学数学系廖晓昕从1979年起在得到绝对稳定的一系列代数判据基础上，发现波波夫判据仅是使反馈变量收敛于零的一个复杂的充分条件，远非必要的。许多不同于波波夫判据而使反馈变量趋于零的条件同样可保证绝对稳定性。于是，通过拓扑变换将原系统的反馈变量化为新系统的状态变量；将变量未分离且耦合关系复杂的原系统化为变量分离的简单系统，进而提出反馈变量、部分变元绝对稳定的新概念，先后得到了鲁里叶直接、间接、离散、时滞控制系统绝对稳定的充要条件及一系列新的充分条件，使鲁里叶问题的研究得到突破性进展。其意义在于：(1)获得了绝对稳定的充要条件，使长期囿于鲁里叶方法、波波夫方法的局面有所突破。可概括前人结果作为特例，较鲁里叶方法条件弱，从而扩大了应用范围。(2)由充要条件派生出一系列比鲁里叶方法、波波夫方法简便的充分条件，甚至是构造性的代数判据。设计一个满足这些条件的系统将十分方便。