鞍点Saddlepoints

多数现代经济理论的核心如下述的假定： 经济行为者的活动仿佛是在满足可行约束的条件下，使某些判断函数极大化。一个典型的静态问题是：
当g (x)≤α时maxf (x)……(1)
其中 x=x (x₁，…，x_n)
f (x)=f (x₁，…，x_n)
gⁱ(x)=gⁱ(x₁，…，x_n)
g (x)=[g¹(x)，…，g^m(x)]
及 α=(α₁，…，α_m)
约束极大化问题(1) 的拉格朗日(Lagrange)函数是
L (x,λ) =∫(x) +λ[α-g (x)′]………(2)
其中撇号表示转置算子，且λ=(λ₁，…，λ_m)是拉格朗日的乘数向量。如果对所有有限的x和所有有限的λ≥0,
L(x,λ^*) ≤L(x^*,λ^*) ≤L(x^*,λ) ………(3)则点 (x^*,λ^*) 是鞍点。同样，当：
L( (x^*,λ^*) =L (x, λ)(x^*,λ^*)是函数L (x,λ) 的所谓极大-极小点。
下面与 (1) 式和 (3) 式相关的定理是众所周知的； 定理❶如果 (x^*,λ^*) 是L (x,λ) 的鞍点，则x^*是(1)式的解。(2)如果 (a) f (x)是凹的，b.g (x) 是凸的，(3)存在某个向量x⁰使g (x⁰)*,(x^*,λ^*) 是L (x,λ) 的鞍点时，x^*才是 (1)式的解。在对策论中，鞍点源于使最大损失极小化的策略。同样，鞍点也存在于旨在使效用水平最大化的问题中，这里的最大化，或者对所有经济行为者而言，或者针对某个经济行为者的代表而言。最后，在许多经济模型中，鞍点与控制系统运动的微分方程的解有关。后一类型的鞍点出现在： (a)一些动态最大化问题，(b) 许多描述性经济模型，(c) 大多时性预期模型。