良序集liangxuji

设(A,≤)是一个有序集，若对于A的每一个非空子集A′,(A′,≤)有首元素，则(A,≤)就叫做良序集.
例如，有序集{0,1,-1,-2，…},{1,3,5，…，2,4,6，…}都是良序集.而有序集(R,≤)就不是良序集，这是因为它的非空子集，((0,1),≤))没有首元素.
良序集有以下性质：
❶若(A,≤)是良序集，且A′⊆A，则(A′,≤)是良序集；

❷若(A,≤)是良序集，且(B,≤′)≃(A,≤)，则(B,≤′)是良序集；

❸若(A,≤)是良序集，a∈A，且a不是末元素，则必存在b∈A，使a≤b，并且a与b之间不再有其他的元素.

良序集

一集合S为一良序集，如果存在S上的一个二元关系R，满足：1.对于任意x∈s,R(x,x)不成立；2.对于任意x,y∈s，如果x≠y，则R(x,y)或R(y,x)成立；3.对于任意x、y、z∈s，如果R(x,y)并且R(y,z)成立，则R(x,z)成立；4.S的每一非空子集T，都存在元素a，对于一切x∈T，都有R(a,x)。a称作在关系R下该子集的首元或最小元。其中，满足1和3的，叫偏序关系；满足1—3的，叫全序关系；满足1—4的，叫良序关系。如关系“&lt；”是自然数集的一个良序关系；自然数集是在“&lt；”下的良序集。