等价类dengjia lei

设A是一个非空集合，“～”是集合A上的一个等价关系，对于A上的一个元素a，所有A中与a等价的元素所组成的集合就叫做由a产生的等价类，记作〔a〕，即

〔a〕={x|x∈A,x～a}

或 〔a〕={x|x∈A,(x,a)∈～}.
例如，偶数集E就是在整数集Z中由2产生的等价类.这是因为在Z中，可定义关系

r={(x,y)|x∈z,y∈z,x-y=2n,n∈Z}

不难证明，r是Z中的等价关系，即 r=～.由2产生的等价类为

〔2〕={y|y∈Z,2～y}.

故由2～y⇒2-y=2n(n∈Z).

y=2(1-n)⇒〔2〕⊆E.

反过来，若z是任意一个偶数，即z=2m(m∈Z)，则有2-z=2(1-m).
令n=1-m，则2-z=2n(n∈Z),2～z.所以z∈〔2〕，⇒E⊆〔2〕.
这就证明了〔2〕=E.
等价类有以下性质：
❶若x∈〔a〕，y∈〔a〕，则x～y;

❷若集合A中的两个元素x和y不等价，则〔x〕 ∩〔y〕=Φ;

❸在集合A中，若x～y，则〔x〕=〔y〕；

❹非空集合A中的每一个元素x必属于一个等价类.