百分数的平方根反正弦变换

平方根反正弦变换简称角变换。以百分数p代入式(1)，即可算得p的平方根反正弦函数值y，称百分数的平方根反正弦变换。

当p从0%～100%时，y从0～90(角度，以下略去)。若以弧度表示，则y从0～1.57(即π/2)。表1是p与y的对照表（以角度表示），如p=10%，则表1左侧为“10”，上端为“0”的交叉处的18.43，即为相应的y值。此值亦可用带有反正弦函数运算的电子计算器直接算出。

表1 百分数p与对照表

p(%)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	5.74	8.13	9.97	11.54	12.92	14.18	15.34	16.43	17.46
10 20 30 40 50	18.43 26.57 33.21 39.23 45.00	19.37 27.27 33.83 39.82 45.57	20.27 27.97 34.45 40.40 46.15	21.13 28.66 35.06 40.98 46.72	21.97 29.33 35.67 41.55 47.29	22.79 30.00 36.27 42.13 47.87	23.58 30.66 36.87 42.71 48.45	24.35 31.31 37.46 43.28 49.02	25.10 31.95 38.06 43.85 49.60	25.84 32.58 38.65 44.43 50.18
60 70 80 90	50.77 56.79 63.43 71.57	51.35 57.42 64.16 72.54	51.94 58.05 64.90 73.57	52.54 58.69 65.65 74.66	53.13 59.34 66.42 75.82	53.73 60.00 67.21 77.08	54.33 60.67 68.03 78.46	54.94 61.34 68.87 80.03	55.55 62.03 69.73 81.87	56.17 62.73 70.63 84.26

本表按式(1)算得。
M.S.Bartlett建议：当p=0%时，以1/4n取代式(1)
中的p；当p=100%时，取代式(1)中的p。F. J. Anscombe提出用下式作反正弦变换，适用于中等大小的样本含量。

式中n为样本含量，X为样本中某特征的阳性数。
样本百分数一般服从二项分布，当总体百分数不为50%，尤其在总体百分数较小(如小于30%)或较大(如大于70%)时的小样本，偏离正态更为明显。通过本变换后，变换值成为或接近正态分布，方差近似常数820.7/n（按角度）或1/4n （按弧度），达到方差齐性和具有可加性，故本法最适于各组百分数的极差相差悬殊时进行变换。通过本变换可进行下列分析：
(1)求总体百分数的可信区间。将样本p变换为y，按式(3)求可信区间：

式中n为样本含量，uα为标准正态离差，按可信度 (1-α)由u界值表查得，如求95%可信区间，取uα=1.96，求99%可信区间，取uα=2.58，余类推。按式(3)算出y的可信限后，可由表1反查出用百分数表示的可信区间。
(2)进行百分数p的均数之t检验或方差分析。将各样本p变换为y，然后以y进行t检验或方差分析，分析的结果可直接用于说明各样本所代表的总体，其百分数的均数间有无差别。
(3)作S形或反S形曲线的直线化(见条目“百分数的logit变换”)。
例1 某地检查40～70岁女子2136人，其中212人有冠心病，患病率9.925%，求95%可信区间。
按式(1): y=＝18.363 ；或查表1，按p的近似值10%，相应的y为18.43，相差甚微。按式(3):

y的95%可信区间： (18.363-1.96×0.61986,18.363+1.96×0.61986)=(17.15,19.58): 反查表1，得p的95%可信区间为(8.7%,11 2%)，故冠心病患病率的95%可信区间为8.7%～11.2%。
例2 某地五个单位1952年6月至9月的疟疾发病率见表2左侧，欲进行方差分析，试先作平方根反正弦变换。

表2 五个单位职工的疟疾发病率及其平方根反正弦变换值

单 位	疟疾发病率p(%)				y=sin-1
	6月	7月	8月	9月	6月	7月	8月	9月
甲 乙 丙 丁 戊	4.88 5.74 4.78 5.61 4.01	3.57 6.54 5.65 6.57 3.01	4.50 4.60 5.02 6.19 2.55	3.52 3.26 3.55 3.92 1.71	12.8 13.9 12.6 13.7 11.6	10.9 14.8 13.8 14.8 10.0	12.2 12.4 12.9 14.4 9.2	10.8 10.4 10.9 11.4 7.5

将发病率p代入式(1)得y，如p=4 88%时，则余类推。亦可直接查p与对照表（详表）得到。