数系shuxi

指从自然数到复数的整个数的系统.数的概念是由人类生产和生活的实际需要的推动而在长期的实践中逐渐产生并不断发展的.起初是用以表示物品的个数或顺序的自然数，以后逐渐产生了负数、分数、无理数、虚数，数的系统也就不断扩张，形成了自然数系、整数系、有理数系、实数系、复数系.近代还有进一步扩张的，如四元数、八元数等.通常所说的数，只到复数为止.
数系扩张的根本原因是实践的需要，反映到数学上就成为满足某种运算封闭性的需要.从一个数集A扩张到另一个数集B所遵循的原则，一般归纳为下列四条：
❶集合A是集合B的真子集；
❷A的元素间所定义的一些基本运算和关系在B的元素间也有定义，且这种定义对于集合B中A的元素来说，与原来的运算和关系是相同的；
❸在A中不是永远可行的某种运算，在B中永远可行，即集合B对这种运算有封闭性；
❹在A的所有满足上述三条原则的扩张中，在同构的观点下，A是唯一的最小的扩张.

数系Shuxi

数的概念是数学最基本的概念之一。数系是具有某些（一种或若干种）运算的数集。在中、小学数学中，数的概念从自然数集开始到建立复数集， 经过了一系列的扩充， 最终形成了如下的数系：
数的概念经过了五次扩充， 每 一次扩充都扩大了数的范围，增加了新的性质，并用以解决生活和实践中提出的问题。这五次扩充是： (1) 在自然数集中添加了一个数 “零”， 组成了扩大的自然数集。(2)在扩大的自然数集中添加了正分数，组成了非负有理数集，使除法运算总可以施行 (除数不能是0)。(3)在非负有理数集中添加了负有理数，组成了有理数集，使加、减、乘、除运算都可以施行 （在除法中除数不能是零）。(4) 在有理数集中添加了无理数 （正无理数和负无理数），组成了实数集。从而引入了开方运算（但负数不能开偶次方）。(5)在实数集中添加了虚数，组成了复数集，使负数可以开偶次方。这样，所有的代数运算在复数集中都可以施行。

数系的每一次扩充，尽管目的和方法不同，但都遵循下列基本原则：(1)原数集是新数集的子集。也就是说，原有的数集总是扩充后的新数集的一部分。例如，在扩大的自然数集中添加了正分数， 得到非负有理数集。非负有理数集包含扩大的自然数集。(2)某种在原数集中不是总能施行的运算， 在新数集中变为总可以施行了。例如，在扩大的自然数集中，除法不是总能施行的，但在非负有理数集中，除法总是可以施行的（只要除数不为零）。(3)在原数集中可施行的运算及其主要性质，在新数集中仍被保持。例如，在自然数集中加法和乘法总可以施行，而且满足基本运算律(加法的交换律、结合律；乘法的交换律、结合律和分配律)。在非负有理数集中，加法和乘法仍可施行，而且基本运算律仍保持有效。(4)每一次扩充，对于某种需要扩大范围的运算来说，都是最小可能的扩充。因此，每个新数集和原数集比较，都具有新的特殊的性质。采用逐步扩充的方法，集中讨论每个新数集的特性，才能深刻理解并掌握数的概念，性质和发展，并以此为工具解决实际问题。