尺规与规矩Chigui yu guiju

历史上出现过的作图工具种类繁多，现代常用绘图器械不下数十种，但是对数学的发展产生深远影响的， 在以古希腊为代表的西方数学中， 莫过于直尺和圆规； 在中国古代数学中，莫过于规矩（圆规和直角曲尺）。在希腊与中国的数学理论体系形成之前，它们都早已出现，在很大程度上决定了各自几何学乃至整个数学的面貌。
尺规的起源年代已经难以考定，到公元前6世纪希腊人开始在数学上大显身手时， 人们对尺规的使用早已十分熟悉了，约公元前300年，欧几里得在他的《几何原本》开头给出了5条公设和5条公理，前3条公设是：
❶从任一点到任一点作直线 （是可能的）。

❷把有限直线不断地循直线延长 （是可能的）。
❸以任一点为中心和任一距离 （为半径） 作一圆（是可能的）。
这3条公设包含了后世所称的尺规作图公法的基本内容，其中暗含的条件是：直尺是没有刻度和任何标记的，甚至不允许考虑它的端点；不能把尺规合起来使用；作图必须在尺规的有限次使用内完成。后世出于连续性的考虑， 又假定， 只要两直线、两圆 （弧）、一直线与一圆（弧）存在交点，就可以作出这些交点。由于这些规定与限制， 导致了古希腊著名的三个尺规作图不可能问题：倍立方体、三等分角、化圆为方。它们在公元前5世纪均已出现， 因此欧几里得记载的3条公设在历史上很早就已经产生了。为了解决这3个尺规作图问题，人们发现了诸如圆锥曲线、蚌线、割圆曲线、阿基米德螺线、蔓叶线等多种几何曲线，创造了穷竭法，在近代还促进了对代数数与超越数的研究，并导致了人们对许多深刻的数学基础问题的认识。
在西方，除了对普通尺规作圆问题的研究之外，人们还研究了在某些限制条件下的作图以及特殊工具的作图。1672年， 丹麦人摩尔 (G. Mohr) 在《欧几里得作图》一书中单用圆规解决了大量作图问题，实际上相当于证明了：如果把线段理解为两个端点，直线理解为其上任意二点， 则凡用尺规能解决的作图问题都可以单凭圆规解决。1673年， 他在《奇妙的欧氏纲要》中又实际上得到如下结果： 利用张角固定的圆规和直尺可以解决一切能用普通尺规完成的作图题。此时，画不出的圆理解为圆心与圆周上一点。1833年，施泰纳（参见该条）证明：当一个已知中心的圆给出时，单用直尺可以解决一切初等作图问题。
在中国， 传统的作图工具是规（圆规）和矩（直角曲尺）。据古书记载， 在大禹治水的时代 (约4000年前)已经使用它们了。申骨文中已有规和矩这两个字。成书于公元前100年前后的《周髀》中记载了周公与数矩 学家商高的一次对话， 其中对矩的使用作了如下概括：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远， 环矩以为圆，合矩以为方。”这表明矩兼有测量与作图的双重功能： 第一条是利用矩的两个垂直边核验地面与铅锤线是否垂直 （实际上是检验地面是否呈水平），第二、三、四条是利用矩及相似直角三角形的比例关系进行测量， 第五条是利用矩的两边当作定脚圆规，第六条是矩的直接功能，即画方形， 当然也可以作直线。圆规自然是用来作圆的。与希腊几何学注重研究图形的内在性质不同， 中国古代几何学测重于解决各种实际问题，至迟到秦汉时期，矩已演变为有刻度、不等边的，故其用途极广，并充分体现了中国古代几何的度量性。又由于矩的使用，中国古代几何重垂直而轻平行，特别是与勾股形（直角三角形）有关的理论与应用研究得到了深入广泛的发展。