四格表的确切概率法

四格表的确切概率法(R. A. Fisher,1934)又称四格表概率的直接计算法。常用于四格表资料的假设检验。基本思想是： 在四格表的周边合计不变的条件下，直接计算表内四个数据的所有各组合之概率，其和为1。各组合的概率服从超几何分布。按检验假设取单侧或双侧的累计概率，即可按所取检验水准作出推断结论。
由于本法可算出确切的概率，特别适用于以下情况：
❶用四格表假设检验的其他方法所得概率十分接近所取检验水准；
❷当x²值大于xα,₁₂而校正x²值小于xα,₁₂时；
❸样本含量小，尤其当两样本含量相差悬殊，同时两样本阳性数之和与阴性数之和相差也悬殊；
❹样本实际频数a、b、c、d中出现任何小值(如0,1,2，…等)，而不宜计算x²值时。
概率的计算方法是将四格表的周边合计固定，表内四个实际频数之组合数共有“周边合计中的最小数+1”个。各组合的概率按式(1)计算。

式中符号意义如下：

式(1)可用带阶乘的电子计算器计算(但常用计算器只能作小于70!的运算，否则就溢出)，亦可用对数计算，阶乘的对数有表可查，见有关统计书。
各种组合下累计概率的计算，单、双侧检验不同。
(1) 单侧检验： 若两样本率p¹-p²＝D，则取p¹-p^{2≥D的各组合的累计概率为}单侧P值。反之若两样本率p1-p₂＝-D，则取p₁-p²≤-D的各组合的累计概率为单侧P值。
(2) 双侧检验： 若两样本率|p1-p2|=D，则取|p₁-p²|≥D的各组合的累计概率为双侧P值。
当a+b+c=c+d或a+c=b+d时，四格表全部组合的序列呈对称状态，为简化计算，取单侧累计概率之2倍即为双侧累计概率；但当a+b≠c+d且a+c≠b+d时，组合的序列并非对称，不应采用此法，尤其是小样本资料。如例1中单侧累计概率之2倍为0.04119×2=0.08238，明显大于实际的双侧累计概率0.05575。例1 甲乙两种疗法对某病的治疗结果如下：

试分别比较：(1)甲法有效率是否高于乙法？(2)甲乙两疗法的有效率有无差别？
本例四格表周边合计的最小值为10，故四格表的组合数共10+1=11个，计算所有组合的p1、p2和p1-p2，并按式(1)计算P值。如第
❺组合为观察所得样本数据，则

(1) 单侧检验：
H₀:甲法有效率等于乙法，
H₁:甲法有效率高于乙法。
α=0.05。取p1-p₂≥35.0%的各组合之P值和，即第
❶、
❷、
❸、
❹、
❺组合P值之和：
P=0.00000+0.00004+0.00068+0.00631+0.03416=0.04119,
按α=0.05水准拒绝H0，接受H1，故认为甲法有效率高于乙法。
(2) 双侧检验：
H₀:甲法有效率等于乙法，
H₁:甲法有效率不等于乙法。
α=0.05。
取|p1-p2|≥35.0%的各组合之P值和，即第
❶、
❷、
❸、
❹、
❺、(11)组合P值之和：

P=0.04119+0.01456=0.05575。

按α=0.05水准不拒绝H0，故尚不能认为甲乙两法的有效率不同。
查表法 由于本法计算较繁，已制成多种工具表备查，如由后列参考书可直接查出两样本含量均不超过50或两样本阳性数之和及阴性数之和均不超过50的范围内所有组合之单侧检验和双侧检验界值，各包括α=0.05和α=0.01两种水准。
递推法 在四格表各组合的序列中，当按式(1)求得任一组合的概率后，可按式(2)或式(3)的递推公式，求出相邻组合的概率，并递推出所有组合的概率：

式中Pα 为四格表中实际频数α确定时该组合的概率，P(α+1)为相邻组合(α+1)确定时的概率，P(α-1)仿此。为减少计算误差，计算过程中，P应多保留几位小数。例2 在例1的四格表组合序列中，已算出第
❺组合的P=0.0341558，试递推出其余各组合的概率。
按式(2)由第
❺组合递推出第
❹组合的概率

由此尚可递推出第
❸、
❷、
❶组合的P值；
按式(3)由第
❺组合递推出第
❻组合的概率由此尚可递推出第
❼、
❽、
❾、(10)、(11)组合的P值。
参考书目 陆守曾等： 医用统计工具表，吉林人民出版社，1978