衡量精度的标准

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衡量观测值精度高低必须建立一个统一衡量精度的标准，主要有：

1．中误差

先来考察下面的例子。

甲、乙两人，各自在相同精度条件下对某一三角形的三个内角观测10次，算得三角形闭合差△_i如下：

甲：+30，－20，－40，+20，0，－40，+30，+20，－30，－10

乙：+10，－10，－60，+20，+20，+30，－50，0，+30，－10

上列数据单位均为秒，哪个观测精度高?

我们很自然地可以想到，甲、乙两人平均的真误差有多少?按真误差的绝对值总和取平均，即

用平均误差衡量结果是：θ_甲=θ_乙。但是，乙组观测列中有较大的观测误差，乙组观测精度应该低于甲组，但计算平均误差θ反映不出来，所以平均误差θ衡量观测值的精度是不可靠的。

根据数理统计推导可知：某组观测值的中误差m可用下式计算

式中 [△△]——各偶然误差平方和；

n——偶然误差的个数。

m表示该组观测值的误差，表示任意一个观测值的中误差，并非一组观测值的平均误差，m可以代表该组中任何一个观测值的误差。根据数理统计推导可知，偶然误差与其出现次数的关系呈正态分布，其曲线拐点的横坐标△_拐等于中误差m，如图6－1所示，这就是中误差的几何意义。

图6－1 偶然误差呈正态分布曲线

上述例子用中误差公式计算得：

m_甲=±27″，表示甲组中任意一个观测值的误差。

m_乙=±30″，表示乙组中任意一个观测值的误差。甲组观测值的精度较乙组高。

当观测值的真值未知时，首先计算多次观测值l₁，l₂，l₃，…，l_n的算术平均值。即

此时，用来衡量观测值中误差的计算公式，根据推导为

上式又称贝塞尔公式。式中v为观测值的似真误差，即各观测值l_i与算术平均值x之差：

v₁=l₁－x，v₂=l₂－x，…，v_n=l_n－x

[vv]为似真误差的平方和，即

2．相对误差

对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的质量。例如，测得某两段距离，第一段长100m，第二段长200m，观测值的中误差均为±0．02m。从中误差的大小来看，两者精度相同，但从常识来判断，两者的精度并不相同。第二段量距精度高于第一段，这时应采用另一种衡量精度的标准，即相对误差。

相对误差是误差的绝对值与观测值之比，在测量上通常将其分子化为1的分子式，即

式中 K——相对误差。

上例中：

显然，用相对误差衡量可以看出，K₁＞K₂。相对中误差愈小，即分母愈大，说明观测结果的精度愈高，反之愈低。求K的式中分子可以用中误差、距离往返较差、闭合差等，此时相对误差计算式为：

相对中误差常用在距离与坐标误差的计算中。角度误差不用相对中误差，因角度误差与角度本身大小无关。

3．极限误差

由偶然误差的第一特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。由数理统计和误差理论可知，在大量等精度观测中，偶然误差绝对值大于一倍中误差出现的概率为32%；大于两倍中误差出现的概率仅为4．6%；大于三倍中误差的出现的概率仅为0．3%。因此，在实际测量中观测次数很有限，绝对值大于2m或3m的误差出现机会很小，故取两倍或三倍中误差作为容许误差(多采用2m)，即

△_容=±2m或△_容=±3m

如果观测值超出了上述限值的偶然误差，可视该观测值不可靠或出现了错误，应舍去不用。