重积分

---

8．4．1 二重积分

二重积分(x，y)dxdy的计算公式(积分限应从小到大)：

直角坐标系下

极坐标系下，设x=ρcosφ，y=Psinφ，则

f(ρcos中，ρsinφ)PdP

二重积分的变量替换(雅可比式)：｛x=x(“，v)

设连续可微函数，把平面Oxy上y=y(u，v)的有界闭区域Ω单值映射到平面O′uv的闭区域Ω′，其雅可比式为

8．4．2 三重积分

三重积分f(x，y，z)dxdydz的计算式：

设有界闭区域V由下列不等式确定：

α≤x≤b，y₁(x)≤y≤y₂(x)，z₁(x，y)≤z≤z₂(x，y)

❶  直角坐标系

式中 S_x是用平行于O_yz的平面截V所得截面。

❷ 圆柱坐标系

式中 V′是区域V在圆柱坐标系中的表达式。一般地，0≤φ≤2π。

❸  球面坐标系

式中 V′是区域V在球面坐标系中的表达式；θ为r与z轴的夹角。一般地，0≤φ≤2π，0≤θ≤π。

三重积分的变量替换(雅可比式)：

把Oxyz空间的有界闭域V双方单值映射到O′uvω空间的闭域V′，且当(u，v，ω)∈V′时，其雅可比式