运动稳定性理论

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研究系统从平衡状态受到扰动后运动状态变化规律的理论。

涉及对动力学系统稳定的定义和描述以及判别系统稳定性的各种方法。19世纪末，俄国数学家李亚普诺夫从运动微分方程的解的特性出发给出了稳定的一般化定义：如图，设原点为系统的平衡状态，对于原点周围一任意圆C₁，如果能找出一个同心圆C₂，从C₂内出发的解都停留在C₁内部，原点就称为在李亚普诺夫意义下是稳定的，如果不是这样，就称为不稳定的；如果原点周围存在一个圆C₀，从C₀内部出发的解都收敛于原点，原点就称为是渐近稳定的；如果状态空间中的所有解都收敛于原点，原点就称为是全局渐近稳定的(或称为在大范围内是渐近稳定的)。

在这个定义的基础上，李亚普诺夫还创立了两种判别运动系统稳定性的著名方法，就是李亚普诺夫第一方法和第二方法，后者又称为直接法，它建立在能量概念的基础上，可在不解出方程解的条件下判别系统的稳定性，是研究稳定问题的基本方法。对于控制系统而言，稳定性一向是一个首先需要被确定的重要问题，是分析和设计控制系统的基本要求。

自李亚普诺夫以来，征对不同的对象，相继提出了许多实用的稳定性判据，如适合于线性定常系统的劳斯——霍尔维兹准则、奈奎斯特判据和根轨迹法；适合于非线性系统的波波夫法、广义圆判据等方法。在现代控制理论中，稳定性仍然是一个十分活跃的研究课题。