稳定的基本概念及稳定条件

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3．1．1 稳定的基本概念

处于平衡工作状态的系统，受到扰动后，将偏离原来的平衡状态。当扰动消除后，系统能恢复原来的平衡状态或达到新的平衡状态(非线性)，则此系统是稳定的。如果系统受到扰动后，不论扰动引起的初始偏差有多大，扰动消除后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，这种系统就称为大范围稳定的系统。对只有扰动引起的初始偏差小于某一范围时系统才能稳定，否则就不稳定的系统，称为小范围稳定系统。对于稳定的线性系统，必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。

3．1．2 线性系统稳定的条件

反馈系统如图1．9－27所示，其闭环传递函数为

设系统闭环传递函数分母等于零，则可得系统特征方程

1+G(s)H(s)=0 (1．9－24)

设系统初始条件为零，给系统输入一理想单位脉冲δ(t)，这时系统的输出为脉冲过渡函数k(t)。这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的情形。如果当t→∞时，脉冲过渡函数k(t)收敛于原来的零平衡点，即，

则系统是稳定的。系统在理想脉冲δ(t)作用下的响应像函数为K(s)=C(s)=Φ(s)R(s)，由于R(s)=L〔δ(t)〕=1，则有

式中 s_i(i=1，2，…n)为系统特征方程的根，也称为系统的闭环极点。设n个特征根彼此不等。将上式写成部分分式之和的形式，即

式中 c_t(i=1，2，…n)为待定系数。对上式进行拉氏反变换，得系统脉冲过渡函数

由上式可以看出，只有当系统的特征根s_i(i=1，2，…n)全部具有负实部时，下式才能成立

故闭环系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部。或者说，闭环传递函数的极点均位于左半〔S〕复平面(不包括虚轴)。