特征函数

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概率论中引进的最重要的变换。

概率论中的许多问题，尤其那些连系著独立随机变数求和的问题，可以借助特征函数得出简单的解法。这种函数变换理论最初由法国数学家Fourier引进，在许多数学分支中起了重大作用。特征函数在解决概率论中著名的“大数定律”及“中心极限定理”时起了举足轻重的作用。

设ξ是定义在概率空间(Ω，，P)上的随机变量，其分布函数为F_ξ(x)，则ξ的特征函数定义为

对于非负整值随机变量，若其母函数为P(S)(见“母函数”条)，其特征函数为f(t)，则f(t)=p(e^it)。

对于连续型随机变量，若其分布密度为p(x)，则其特征函数，这时，特征函数即为密度函数p(x)的Fourier变换。

设特征函数f(t)对应于分布函数F(x)，x₁x₂是F(x)的连续点，则有

由此可知，分布函数由特征函数唯一确定。这样，对分析性质比较差的分布函数的研究即可由分析性质比较好的特征函数的研究所取代。

以下是特征函数的主要性质：

a．特征函数在全直线上一致连续，且满足：f(o)=1，｜f(t)｜≤1 (－∞

b．两个独立随机变量之和的特征函数等于其特征函数之积。

c．如果随机变量ξ有n阶绝对矩，则ξ的特征函数f(t)可微分n次，且当k≤n时，f^(k)(0)=i^kEξ^k。

下面给出几个重要分布的特征函数：

二项分布b(k；n，p)：f(t)=(pe^it+q)ⁿ；

普阿松分布p(k；λ)：f(t)=eλ(e^it－1)；

高斯分布。