模糊子集论

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1965年美国控制论学者L，A，Zadeh发表了《Fuzzy Sets》的论文，从而宣告了以模糊现象为研究目标的数学分支——模糊集合论的诞生。

模糊子集是普通集合在模糊环境下的拓广。对普通集合A；一个元素X是否属于这个集合用特征函数 Char_A(x)来表示。

普通集合A具有非此即彼的特征。

这就对应著Char_A(x)取值为｛0，1｝。

写成：

也可以认为限定在论域∪上的普通集合A的特征函数是由∪到｛0，1｝上的映射

Char_A(X)：∪→｛0，1｝

普通集合的非此即彼性在逻辑上对应了传统的排中律：对命题P而言是永真式。

普通集合一般表示为：(限定在论域∪上)为真，X∈U｝

L，A，Zadeh引入的模糊子集是对普通集合中元素特征函数的拓广。

设论域∪=｛a，b，c，d，e，f｝那么，这个论域的一个模糊子集定义为

其中x=a，b，c，d，e，f

表示x属于的隶属度，对应为1，0，0．9，0．2，0．8，1，0，0或者写成

显然，是论域∪到〔0，1〕上的映射。它的取值反映了模糊概念的亦此亦彼性。可以写成

在上例中，如果把模糊集理解为类似红色物体的集合，则物体a，b，c，d，e，f以不同程度的红色组成了模糊子集。可见，模糊子集完全被论域∪中的元素及其相应的隶属度所刻画。

以上是离散的情况，为了刻画各种模糊子集一般地借用“积分”号写成：

此式“积分”号只有概括的含义。

模糊集的亦此亦彼性在逻辑上摒弃了传统的排中律。

即：

，而且：

这是因为，模糊集之间的在论域∪上基本运算定义为

在普通集合向模糊集的拓广上数学家为它下了严格的定义：

设X为一非空普通集，L是一个具有有逆序对合对应的完全分配格。其最大、最小元分别记为1，0。

这样X上的一个L模糊集是从X→L的一个映射。

目前模糊集合理论的发展基本上朝两个方面进行，一方面是模糊性的内在规律的探讨，(如模糊逻辑的研究)；另一方面是建立处理模糊现象的确切性的数学理论。模糊集合论作为一种方法，在聚类分析、控制论、运筹学、模式识别、逻辑学、决策论、自动机、专家系统信息处理等领域，以及语言学、心理学及其他人文科学的领域显示了它广阔的前景。