微分方程

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(1)线性化

自动控制元件与系统的运动方程常常是非线性的，而用非线性微分方程研究系统的运动规律是很困难的，故尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析。对于非线性函数的线性化方法有两种：一种方法是忽略那些比较次要的非线性因素，如小的死区、磁滞和干摩擦等；另一种是小偏差线性化法。

小偏差线性化法是将一个非线性函数y=f(x)，在其工作点(x₀，y₀)展开成台劳级数，然后忽略二次以上的高阶项，就可得到代替原来非线性函数的线性化增量方程。

(A)对具有一个自变量的非线性函数f(x)的小偏差线性化增量方程为

［解］ 根据流体力学的节流公式可推得

式中 q_l——工作流量(或称负载流量)；

C_d——流量系数；

w——滑阀的面积梯度；

x_v——阀芯位移；

ρ——油液密度；

p_s——工作压力；

p_i——负载压力。

由上式可知，因C_d、w、ρ、p_s为常数，故q_l是一个取决于x_v和p_i的双变量非线性函数，因此，它又可写成

ql=f(x_v，p_l)(5．3－4)

根据式(5．3－2)可得工作流量q_i的线性化增量方程

式(5．3-5)可写为

式中

如果以q_m表示使活塞移动的流量，以q_i表示泄漏流量，以q_v表示体积压缩流量，根据液流连续性原理则有

q_l=q_m+q_t+q_v

并有 △q_i=△q_m+△q_t+△q_v(5．3－7)

而q_m、q_i、q_v及其相应的增量分别为

式中 A——油缸工作面积；

C_t——油缸总泄漏系数；

V_t——滑阀出口至液压缸活塞两腔的总容积；

β_e——油的弹性模量。

液压缸的力平衡方程为

式中 M——活塞及负载的质量；

B——粘性阻尼系数。

将式(5．3－7)～式(5．3－11)联立，消去中间变量，得活塞位移y对滑阀位移x_v的线性化微分方程

当活塞及负载质量M小得可以忽略不计时，则上式可简化成