微分方程

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2．2．1 建立微分方程

建立系统(或元件)微分方程的一般步骤：1．由系统或元件的工作原理，确定输入量和输出量；2．根据支配输出量与输入量内在联系的物理定律，按工作条件忽略一些次要因素并考虑相邻元件的彼此影响，列出运动方程式；3．消去运动方程中的中间变量，求得描述输出量与输入量关系的方程式。

例1．9－1 建立如图1．9－9所示齿轮传动系统运动方程。齿轮传动在控制系统中，通常用以实现减速、增大力矩或达到有效的功率转换。在图示齿轮传动系统中，各传动部件的转动惯量和粘性摩擦系数分别为J_，、B_1，J₂、B₂，J₃、B₃；轴的角位移分别为θ₁、θ₂和θ₃；令i₁和t₂为两级齿轮副的传动比，即i₁=θ₁／θ₂，i₂=θ₂／θ₃；M_c为负载力矩。取力矩M_r为输入量；Ⅲ轴转角θ₃为输出量，则各传动轴的力矩平衡方程式可列写成

消去上述各式中的中间变量θ₁、θ₂、M₁、M₂、M₃和M₄，并且将转动惯量和粘性摩擦系数折合到输出轴Ⅲ上，则有

❷ 死区，也称不灵敏区。在死区范围内，有输入而无输出动作，伺服电动机必须达到起动电压才能起动。死区特性如图1．9－11所示。

❸ 摩擦力。如机床滑动导轨运动副、主轴套筒运动副、活塞液压缸运动副等，在运动中都存在摩擦力，图1．9－12(a)为干摩擦力(也称库伦摩擦力)，图(b)为粘性摩擦力。

线性化方法一般来说有两种。一种是在不影响研究与分析系统性能的原则下，忽略某些非线性因素，将元件或系统视为线性的。例如上述建立的齿轮传动系统运动方程，就是忽略齿轮传动中的间隙等非线性因素后建立的线性方程。另一种方法，是把非线性特性在工作点附近用泰勒级数展开的方法进行线性化，即将工作点附近小范围的非线性特性采用线性模型近似。通常把这种方法称为小偏差线性化方法。例如图1．9－13所示系统特性，其运动方程为y=f(x)，图中x₀、y₀为系统的工作点。在工作点附近把非线性函数y=f(x)展成泰勒级数，即

这种线性化方法，只适用于在工作点附近作小范围变化，且非线性函数在工作点有导数或偏导存在的系统，即通常所说的非本质非线性系统。

例1．9－3 图1．9－14(a)为质量为M的机器放置在隔振垫上的示意图，试建立该系统在外力F(t)作用下作强迫振动的运动方程。

解：将机器视为质量为M的质块(其内部运动与变形略而不计)。设x(t)为质块从静态平衡位置开始计算的位移，N(t)为隔振垫对机器的支反力，并将系统简化为图1．9－14(b)，根据牛顿第二定律，有

(1．9－16)

在该系统中，取F(t)为输入量，x(t)为输出量，一般，隔振垫的支反力N(t)与机器移动的位移x(t)及速度有关，即

上式一般为非线性函数，但当x、均较小时，可将函数f(x，)在原点(0，0)附近按泰勒级数展开。并只取其一次项。