广义凸集

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设X是实线性空间，对x，y∈X，记［x，y］=｛z｜z=λx+(1－λ)y，λ∈［0，1］｝，称X是凸集，如对，y∈S有。

虽然凸集的某些结论可以追溯到18世纪中叶，但近代凸集理论则是20世纪初由卡拉什多利(C．Carathedory)、闵科夫斯基(H．Minkowskii)等人开创的，他们对集合的凸包、凸集的支撑、分离等问题进行了研究，为凸集理论的建立奠定了基础。以后由于赫里(E．Helly)、克里(V．L．klee)、哥德曼(J．Goldman)等一大批数学家的努力，到20世纪50年代凸集理论已基本形成。由于凸集理论在纯数学、应用数学、经济学等学科中得到广泛应用，所以它一直为人们所注目。

同时人们也注意到实际问题中的许多集合不具备凸性，而只有某种类凸性，这就促使一些学者针对所研究问题的需要，提出了许多减弱凸性要求的广义凸集概念。

1928年，H．Tietze对Rⁿ中的集合S提出了一类局部凸性概念，得出了用较弱的局部凸性反映整体凸性的狄茨定理，克里(1951)将其拓广到一般的拓扑线性空间X，对，；称S在局部凸，如对，有；称S在强局部凸，如存在的邻域N，使S∩N是凸集；称S在弱局部凸，如存在的邻域N，对，y∈S∩N，有，并得出了狄茨定理：一个闭连通集S是凸的，当且仅当S是弱局部凸的。一个连通的弱局部凸集必是折线连通的。

以后克依(D．C．Kay 1971和1982)又对狄茨定理作了进一步推广。另外依温(G．Ewing，1977)又将S在局部凸拓广为S在局部星状，如对， 使，。

这概念在不可微最优化问题的讨论中常用到。

1946年，M．A．Krasnosel’skii在考虑公共可见点问题时，称是星形的，如使，，借用这概念得出了一个赫里型的艺术画廊定理：若S是Rⁿ中至少含有n+1个点的紧集，又对S的每n+1个点x₀，x₁，…，x_n都存在一个可见点y(即，i=0，1，…，n)，则集合S是星形的。

1974年，P．L．Yu在讨论多目标最优化问题的非控解时引进了一种锥凸性概念，他称关于d∈X是方向凸的，如对，y∈S，λ∈［0，1］，使λ_x+(1－λ)_y+μd∈S；对X中的凸锥C，称S是C－方向凸的，如对使λ_x+(1－λ)_y+z∈S；称S是C－凸的，如S+C是凸集。以后在一些多目标最优化方面的文献中又出现了一些更弱的锥凸性概念，如赵(K．L．Chew，1984)称S是C－凸的，如，其中coS是S的凸包。

布勒栅(A．Bressan，1987)称S是C－凸的，如x，y∈S，x－y∈C，蕴涵。梅家骝(1988)称S是弱C－凸的，如存在集合A使，且S+A是凸集。

1976年，V．G．Boltyanskii提出了一种H－凸性概念，1981年索坦(V．P．soltan)将其扩充为：设H是Rⁿ的单位球面上的一个子集，称是H－凸的，如果它是一族外法线属于H的开半空间的交。

他对这种H－凸集的一些一般的性质进行了讨论。

1979年，J．Szczepaniak，设0＜S≤1，称集合是S凸的，如对，y∈A，a，b≥0，a^S+b^S=1，有ax+by∈A。相应地定义f：A→R为S－凸函数，如f(ax+by)≤a^sf(x)+b^Sf(y)，每当x，y∈A，a，b≥0，a^S+b^S=1。

他将凸函数不等式的一些性质拓广到S－凸函数。

1983年，J．P．Vial设r＞0，B(x，r)是赋范线性空间X中以x为中心，r为半径的闭球，Rr=｛B(x，r)｜x∈X｝，对x，y∈X，‖x－y‖≤2r，记Dr(x，y)=∩｛B｜B∈Rr，x，y∈B｝，称关于r弱凸，如对，y∈clS，‖x－y‖＜2r有D_r(x，y)∩clS≠｛x，y｝，称S弱凸，如，使S关于r弱凸。称S在局部弱凸，如，ε＞0使关于r弱凸。他还引进了强凸集的概念，讨论了强(弱)凸集的性质，其中特别是引进了支撑球的概念，它是支撑超平面概念的拓广。

1984年，I．Marugsciao引进一种弧式凸性，称是m－多角形凸的，如对，y∈S，使φ(0)=x，φ(1)=y且存在0=t1＜…＜f_m=1使，t∈［t_k－1，t_k］。相应地还定义了m－多角形凸(拟凸，伪凸)函数，讨论了这类广义弧式凸函数的极值性质。

梅家骝(1981)在讨论多目标非控点的性质时，曾引进一类锥弧式凸性，对，称S是弧式C－凸(严格凸)，如对，y∈S，存在φ：［0，1］→S，使φ(0)=x，φ(1)=y，对有a=(1－t)x+ty－φ(t)∈C(且)。称S弧式C－拟凸，如对，y∈S，存在φ：［0，1］→S，φ(0)=x，φ(1)=y且对有x－φ(t)∈C或y－φ(t)∈C。

讨论了锥弧式凸性的基本性质。

1985年，A．Aleman称弱凸，如对，y∈S，(0，1)使(1－p)x+py∈S，若有某个p不依赖x，y，则称S是p－凸的，特别如，称为中点凸的。

1987年狄可夫(M．P．DymkoV)定义另一种p－凸性，设a_i∈Rⁿ，i=1，…，m，称Rⁿ是p－凸的，如对，y∈S，λ∈［0，1］，使，i=1，…，r，，i=r+1，…，m，其中p是使上述关系式成立的最小自然数，文中讨论了这类p－凸集的极小点的必要和充分条件。

1988年梅家骝从区域规划、场地设置的角度出发，提出了一类广义凸集概念，称是伪(严格伪)凸集，如存在凸集A，闭集(紧集)B，使S=A＼B，若其中A是凸锥，又称S是伪(严格伪)凸锥。

称S拟凸，如对，y∈S，(x，y)∩S在(x，y)中稠密；称S弱拟凸，如对，y∈S，(x，y)∩S≠Φ；称S强拟凸，如对，y∈S，(x，y)中最多有有限个点不属于S。称S为拟锥，若对，｛λx｜λ≥0｝∩S在｛λx｜λ≥0｝中稠密；称S为拟凸锥，如S既是拟锥又是拟凸集。

系统地讨论了这类广义凸集(锥)的运算性质、射影定理、支撑定理、分离定理、相对内部的特征。1989年又讨论了这类广义凸集的支撑函数、退化锥、障碍锥的性质。1990年考虑了这类广义凸集的九种切锥的基本性质以及各种切锥之间的关系。1991年考虑了伪凸集的Pareto有效极点的存在性。

1989年郭元明等将这类广义凸集拓广到赋范线性空间X，考虑了弱拟凸集对x∈X的最佳逼近和G对有界集的联合最佳逼近的唯一性，说明在严格凸赋范线性空间中的弱拟凸集均为半－切比雪夫集合。1992年郭元明又将前面所得结果应用到L_p(T．m)空间，得到了L₁(T，m)空间中最佳逼近的特征及唯一性，L_p(T，m)(1＜p≤2)空间中最佳逼近的强唯一性。徐士英(1990)说明了伪凸集、拟凸集与太阳集之间的关系。

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【参考文献】：

1 Szczepaniak J. Funct Approx Comment Math, 1979,7:3-7

2 Soltan V P. Dokl Akad Nauk SSSR,1981,258|1095～1062

3 Kay D C. Discrete geometry and convexity. New York,1982,170～191

4 Vial J P. Math Oper Res 1983,8:231～259

5 Marugsciac I. Polygonal convex functions, Ma thematica(cluj),1984,26:53～64

6 Aleman A. Anal Numer Theor Approx,1985,14:1～6

7 Bressan A. J Math Anal Appl, 1987,1:234～246

8 Dymkov M P. Vestsi Akad Navuk BSSR Ser Fiz-Mat Navuk, 1987,125:20～25

9 梅家骝．系统科学与数学，1988，8∶97～106

10 郭元明．系统科学与数学，1992，12∶30～34

(南昌大学梅家骝教授撰；李宗元审)

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"广义线性模型广义线性模型

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线性模型是统计学中应用最广泛的分支之一，广义线性模型则是经典的线性模型的推广。

在经典的线性模型中，我们用刺激变量X的线性函数Ŷ=X^Tβ来拟合响应变量Y，称为拟合误差。高斯(Gauss)在1809年首先引进了正态分布来描述误差，后来，他抛弃了正态假设而仅用固定方差这一假定得到了参数β的无偏估计类中有最小方差的估计，即由极小化e^Te来估计β，这就是著名的最小二乘法。

广义线性模型放宽了Y_i有固定方差这一假定，减弱了Y_i的均值μ_i为X_i的各分量的线性组合这一限制，仅假定Y_i的方差为V(μ_i)，即为均值的函数，也称为方差函数，还假定μ_i的函数g(μ_i)为X_i的线性函数，即g(μ_i)=X_i^Tβ，这里函数g(μ_i)被称为联系函数。

这样，广义线性模型把非线性限制在联系函数和方差函数之中，保留了对预报量有贡献的成分，从而把那些不满足经典线性模型假定的数据分析纳入广义线性模型的框架之中。

20世纪以来，人们在分析变量之间的相互关系时提出了许多新的统计模型和统计分析的方法。1922年费歇尔(Fisher)在考察培养盘上的媒体生长情况时，提出了重对数线性模型；1935年伯尼斯(Bliss)对响应变量是属性变量的情形提出了Probit分析方法；在考察与寿命等有关的生存数据时，考克斯(Cox)于1972年提出了对生存数据的回归模型。

在所有这些模型中，一个显著的特点是它们都不满足经典线性模型的假定。耐尔德和魏德朋(Nelder and Wedderburn)于1972年提出了广义线性模型，它不但涵盖了前面所提到的各种模型，而且由于联系函数和方差函数选择的灵活性，使其应用的范围大大拓宽。

当联系函数η=g(μ)取不同的形式时，则可得到不同的统计模型。若η=μ，则得到经典的线性模型；若η=log(μ／(1－μ))，则得到logit模型；若η=Φ^－1(μ)，这里Φ是标准正态分布之分布函数，则得到Probit模型；若η=log(－logμ)，则得到重对数线性模型；若取η=1ogμ，则得到对数线性模型。

我们不再一一列举了，由此可以看出，广义线性模型所包含的内容之丰富。

广义线性模型用加权最小二乘迭代求参数的最大似然估计。

魏德朋(Wedderburn)和哈伯蒙(Habermon)于1976年和1977年几乎同时给出了最大似然估计存在的充要条件，且表明如果参数θ的最大似然估计θ存在，则θ唯一确定。最大似然估计的渐近性质也有很多学者进行了研究。法玛亚(Fahrmeir)和考夫曼(Kaufmann)于1985年给出了最大似然估计渐近性质的一些最新的重要结果，在很一般的条件下证明了最大似然估计的渐近存在性、相容性及渐近正态性。

魏德朋在1974年在对广义线性模型进行参数估计时，还引入了拟似然函数这一概念，它基于这样的考虑，若响应变量Y的分布属于指数族分布，则其对数似然函数的导数即得分函数仅与Y的均值和方差有关，此时，我们虽然不知道Y的分布的具体形式，却可以由令其得分函数为零得到最大拟似然方程，这样，我们只需要知道二阶矩假设而不必考虑分布的具体形式，就可以得到参数的拟似然估计。

在广义线性模型的研究中另一个重要课题是模型检验。卜瑞盖绷(Pregibon)在广义线性模型的模型检验方面做了一些开创性的工作。

这方面的工作主要集中在两个方面，一是检验数据与模型中的假定是否相符(模型诊断)，另一个是如何把对拟合影响显著的观察值分离出来(数据诊断)。人们已构造了各种形式的残差、偏差、距离等统计量用于模型诊断和数据诊断，利用图形分析进行诊断也是一个直观明了的方法。

近年来，有关广义线性模型的理论和应用成果不断涌现，由于这门理论还很年轻，故有很多领域有待进一步研究和开发。

一是改进模型的适用性。在广义线性模型中我们假定各响应变量是相互独立的，方差也仅与均值有关，如何将这一限制取消，考虑各Y_i是相关的，方差和其它变量的均值也有关，将会大大拓广模型的实用性。还可考虑线性预报量中既含有参数的线性形式，又含有变量的非参数形式的半参数广义线性模型．还可以考虑随机效应模型。

另一个重要的方向是对病态数据的处理。由于病态矩阵使得迭代过程不收敛，许多学者提出了将岭估计、压缩估计、主成分估计等有偏估计推广到广义线性模型的参数估计上来。

此外，诸如刀切法(Jacknife)、投影追踪法(Bootstrap)、随机过程统计等现代统计方法应用于广义线性模型也都是很有意义的研究方向。

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【参考文献】：

1 Nelder J A,et al. J R Statist Soc,A,1972,135:370～384

2 Pregibon D. Ann Statist, 1981,9:705～724

3 McCullagh P, et al. Generalized linear models. London Chapman and Hall, 1983

4 McCullagh P. Ann statist,1983,11:59～67

5 Fahrmeir L,et al. Ann Statist, 1985,13:342～368

6 Johnson W,et al. J of statist. Planning and Inferencell,1985,33～56

(安徽师范大学郭大伟副教授撰)