平行四边形的性质

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1．平行四边形的对边相等．

2．平行四边形的对角相等．

3．平行四边形的对角线互相平分．

注意 1．平行四边形的定义也是性质，即平行四边形对边平行，由对边平行又可以推出相邻的两个角(邻角)互补，所以平行四边形的性质可以从以下三个方面总结：

从边上看：平行四边形对边平行；

从角上看：平行四边形的对角相等、邻角互补；

从对角线上看：平行四边形的对角线互相平分．

2．平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个三角形，相对的两对三角形分别全等，且这四个三角形面积相等．

例1 ABCD中，AC、BD交于O点，若△AOB的面积为3，则ABCD的面积为＿．

答 12．

[解析] ABCD中，AC、BD交于O点，则S_△AOB=S_△AOD=S_△COD=S_△BOC．

例2 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是( )．

A．2∶1∶1∶2 B．2∶2∶1∶1

C．1∶2∶2∶1 D．1∶2∶1∶2

答 D．

[解析] 根据平行四边形对角相等，邻角互补．

例3 已知：ABCD中，AB=5cm，BC=8cm，对角线AC、BD交于O点，若△AOB的周长为15cm，则△BOC的周长为＿＿(如上题图)

解 由已知得AB+BO+AO=15cm，

又AB=5cm，

所以BO+AO=10cm．

由ABCD可知：AO=CO，

所以BO+CO=BO+AO=1Ocm．

所以BO+CO+BC=18cm．

即△BOC的周长为18cm．

例4 由等腰三角形底边上任一点(顶点除外)作两腰的平行线，则所形成的平行四边形的周长等于等腰三角形的( )．

A．周长 B．一腰的长

C．周长一半 D．两腰和

答 D．

[解析] ∵AB=AC，∴∠B=∠C．

又∵DE∥AC，DF∥AB

∴∠1=∠C，∠2=∠B

∴∠1=∠B，∠2=∠C

∴BE=DE，CF=DF．

∴AEDF的周长=AF+DF+DE+AE

=AF+CF+BE+AE

=AC+AB．

例5 如图，在平行四边形ABCD中E、F是对角线BD上的两点，要使△ADF≌△CBE还需添加一个什么条件＿＿．(只需一个条件)

答 BE=DF．

注：答案不惟一．

根据三角形全等的条件：

若用SAS，应添加BE=DF或BF=DE．

若用ASA，应添加∠BCE=∠DAF．

若用AAS，应添加∠BEC=∠DFA或AF∥EC等．