塑性力学基础

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2．2．1 应力偏量与应变偏量

应力偏量：在塑性力学中，常将应力状态分解为两部分。一部分为各向相等的压(或拉)应力，其分量为(σ_m，σ_m，σ_m，O，O，o)，σ_m为平均应力，其值为

该应力状态只引起弹性的体积变形。另一部分为应力偏量，其分量为(σ_x－σ_m，σ_y－σ_m，σ_x－σ_m，τ_xy，τ_yz，τ_zx)，常记为(S_x，S_y，S_z，S_xy，S_yz，5_zx)，它只引起形状的改变，塑性变形只与应力偏量有关。

应变偏量：与应力分析类似，应变状态也分为两部分，即只与体积变化有关的部分(ε_m，ε_m，ε_m，O，O，o)和只与形状变化有关的部分(e_x，e_y，e_z，e_xy，e_yz，e_zx)。其中，ε_m称为平均应变：e_x=ε_x－e_m，e_y=ε_y－ε_m，e_z=ε_z－ε_m，

称为应变偏量。

2．2．2 塑性条件

材料进入塑性状态时应力分量必须满足的条件，称为塑性条件，或称屈服条件。

Tresca条件：当最大剪应力等于剪切屈服极限时，材料开始进入塑性状态，即

或 σ₁－σ₃=σ₃

Mises条件：当应力强度等于材料的屈服极限时，材料开始进入塑性状态，即

用主应力表示，则为

式中，σ₁称为应力强度。

2．2．3 塑性应力应变关系

当材料进入塑性状态后，广义虎克定律已不适用，需要建立塑性阶段的应力应变关系。主要有两种类型：增量理论和全量理论。

增量理论：存在于应力和应变增量之间的关系。对于不同的材料模型，其关系表达式也不相同。

理想刚塑性材料的增量理论——Levy－Mises方程：

式中，de₁为应变强度增量，其值为

2)理想弹塑性材料的增量理论——Prandtl－Reuss方程：

式中 ；dW_p为塑性功增量

上述各式均为加载过程中增量理论公式。而其他过程dλ=0。

(2)全量理论：在简单加载条件下，应力强度σ_i与应变强度ε_t有确定的对应关系。在弹塑性小变形的情况下，下述的伊留辛(ИnbloшиH)理论比较简便。

其中，应力强度σ_i与应变强度ε₁有确定的函数关系，即σ₁=Φ(ε₁)。

2．2．4 弹塑性理论的基本方程和边界条件

弹塑性理论的基本方程 与弹性理论的基本方程的主要不同之处，在于物理方程的差异。

在塑性阶段，其增量理论及全量理论见(2．2．3)。

边界条件1S_u上，，，1