集合的基数jihe de jishu

集合论中的一个重要概念，它是“个数”这一概念的推广.
对于某一自然数k，集合Nk={1,2,3，…，k}显然恰好有k个元素.如果A是某一有穷集合，而且有A～Nk，那么，根据集合A与N_k间的一一对应关系，集合A也与Nk一样恰好有k个元素.如果B是任意另一个有穷集合，而且B～A，那么可知B～Nk，因此集合B也同样恰好有k个元素.可见，一切与集合Nk等价的集合都具有一个共同的特性，即都有相同的元素个数k.把这一类等价的有穷集合的共同特性，即它们所具有的相同的元素个数k称为这一类等价集合的基数.记作＝k(也可记作|N_k|=k)，显然，＝＝k.例如集合A= {a,b,c}的基数＝3，集合B={x|x被5整除，0＝10等.另外约定空集的基数为零，即＝0.
无穷集合基数的概念具有更加重大的意义.康托把适用于有穷集合的不用数数而判定两个集合一样大的一一对应准则推广到无穷集合.他把基数（开始时康托儿将其称为势）定义为等价集合类共性的抽象，罗素改为等势类本身.如果A,B是两个无穷集合，且A～B，那么A的元素与B的元素之间存在一一对应的关系，此时，称集合A和B有相同的基数，记作＝.
康托儿对无穷集合基数的定义，与前面所述有穷集合基数（有穷集合元素的个数）的概念是相一致的.
如果一个无穷集合A的无穷真子集B与集合A等价，那么它们就有相同的基数，即＝.例如，正奇数集合O是自然数集合N的无穷真子集，因为O～N，所以＝.也就是说正奇数集合与自然数集合有相同的元素个数.在这里，传统的“全量大于部分”不适用了，但集合的基数却是说明一个集合大小的一个精确的数学概念.
集合的基数是可以比较的.如果集合A与集合B的一个子集C等价，即A～C,C⊆B，那么就称≤.
可以证明，对于任意两个集合A和B，有≤或≤.如果二者都成立，那么必有＝.